Le but de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'une minuterie permettant d'éteindre une lampe automatiquement au bout d'une durée t₀ réglable. Le montage du circuit est constitué d'un générateur de tension idéale de fem E= 30 V, d'un interrupteur K, d'un conducteur ohmique de résistance R, d'un condensateur de capacité C, d'un bouton poussoir qui joue le rôle d'un interrupteur ( il est fermé seulement quand on appuie dessus), d'un composant électronique M qui permet l'allumage de la lampe L tant que la tension aux bornes du condensateur est inférieure à une tension limite, U_l=20 V caractéristique du composant. Le composant électronique possède une alimentation propre et ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC ( la tension aux bornes du condensateur est identique que le composant M soit présent ou non dans le circuit.

I. étude du circuit RC :

A l'instant t=0, le condensateur est déchargé. On ferme l'interrupteur K, le bouton poussoir P est relâché.

1. On souhaite visualiser les variations de tension u_c aux bornes du condensateur en fonction du temps à l'aide d'un oscilloscope à mémoire. Indiquer les branchements à réaliser (voie 1 et masse)
2. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension u_c(t) aux bornes du condensateur est fonction du temps est de la forme : E = RCdu_c/dt + u_c
3. En vérifiant que la fonction u_c(t)= A(1-exp(-t/t) est solution de l'équation différentielle précédente, montrer que A=E et t=RC.
   - Quelle est la valeur de u_c en régime permanent ?
   - Quel est le nom donné à la constante t ? A l'aide d'une analyse dimensionnelle, donner l'unité de la constante t.
4. La représentation graphique de la fonction u_c(t) est donnée ci-dessous :

   -Faire apparaître sur le graphe, sans justification: la tension E, la constante t, les régimes permanent et transitoire.

5. Calculer la valeur de la constante t pour R= 100 k W et C= 200 m F.
6. Donner l'expression littérale de la date t₀ ( durée d'allumage de la lampe) à partir de laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur limite U_l en fonction de U_l, E et t.
   - Calculer la valeur de t₀ et vérifier la validité du résultat à l'aide du graphe u_c(t).
   - On a fixé U_l à 20V pour obtenir une durée d'allumage voisine de t. Pour quelle raison choisir t₀ très supérieur à t n'aurait pas été judicieux pour un tel montage ?
7. Quel (s) paramètre(s) du montage peut-on modifier sans changer le générateur afin d'augmenter la durée d'allumage de la lampe ? En fixant C=200mF quelle valeur doit-on donner à la résistance R pour obtenir une constante de temps d'une minute ?
8. On appuie sur le bouton poussoir. Que vaut la tension aux bornes du condensateur ? La comparer à Ul. Que se passe-t-il pour la lampe dans les cas suivants :
   a. La lampe est déja allumée
   b. La lampe est éteinte ?

II. Méthode d'Euler : on se propose de résoudre numériquement l'équation différentielle établie ci-dessus, Ret C concervant les valeurs R= 100 kW et C= 200 mF.

1. A partir de cette équation différentielle, donner la relation entre la dérivée du_c(t) / dt et la tension u_c(t).
   La méthode d'Euler permet de calculer successivement les valeurs de u_c(t) et de du_c(t) à un intervalle de temps régulier Dt appelé pas. En prenant un pas suffisamment petit on peut écrire la relation :
   u_c(t+Dt)= u_c(t) + du_c(t) /dt* Dt. Pour cette étude on prend un pas Dt= 2s.
2. Compléter le tableau suivant :

   t(s)	0	2	4	6	8	10	12	...	20
   uc(t)	0			8,14	10,3	12,3	14,1	....	19,6
   duc(t)/dt	1,5			1,09	0,99	0,89	0,80	....	0,52

   
   
3. Tracer sur le document suivant la partie du graphe u_c(t) correspondant à ce tableau. Que constatez-vous ?
4. On peut améliorer la précision de la méthode d'Euler en modifiant la valeur du pas. Quelle précision pourrait-on apporter à la valeur du pas Dt ? Quel serait l'inconvénient de cette modification ?

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corrigé

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la loi d'additivité des tensions s'écrit: E = u_AB + u_C (1)

Loi d'Ohm pour un résistor : u_AB = Ri avec i = dq/dt et q =Cu_c soit i = Cdu_c/dt

u_AB = RC du_c/dt

repport dans l'expression (1) : E = RCdu_c/dt + u_c

équation différentielle relative à u_c : E = RCdu_c/dt + u_c.

u_c(t)= A(1-exp(-t/t) )

dériver u_c par rapport au temps : du_c/dt = A/t exp(-t/t)

repport dans l'équation différentielle :

E= RCA/t exp(-t/t)+ A-Aexp(-t/t) = A + A(RC/t-1)exp(-t/t)

On identifie A à E ; RC/t-1=0 soit RC/t=1 ; t = RC.( constante de temps du dipole RC)

t = RC est homogène à un temps:

R résistance (ohm) = tension (volt) / intensité (ampère) soit [U][I]^-1.

C : capacité (farad)= charge (coulomb)/tension (volt) = intensité (A)*temps (s) / tension (V) soit [I][T][U]^-1.

RC : [U][I]^-1 [I][T][U]^-1 soit [T]

Le condensateur est complètement chargé quand t tend vers l'infini, ( régime permanent) en conséqience u_c = E.

t =RC avec R= 10⁵ W et C= 2 10^-4 F.

t =10⁵ * 2 10^-4 = 20s.

u_c(t₀) = U_l = E(1- exp(-t₀/t) ) ; (E – U_l)/ E = exp(-t₀/t) ; ln((E – U_l)/ E )= -t₀/t

t₀= t ln(E/(E – U_l)) = 20 ln(30/(30-20))= 22s.

lecture graphique, pour u_c = 20 V , t₀= 22s.

En choissssant t₀ très supérieur à t, on se trouve sur une partie de la courbe presque horizontale ; il faudrait donc une valeur très précise de U_l pour avoir un temps t₀ précis ; au voisinage de t, pour une petite variation de U_l, t₀ change beaucoup.

t₀ est proportionnel à t, donc à RC. On augmente t₀ en augmentant R et/ou C.

résistance R pour obtenir une constante de temps de 60 s : R= 60/2 10^-4 = 3 10⁵ W = 300 kW.

Le bouton poussoir court circuite le condensateur en reliant les points B et D par un fil : la tension u_c est donc nulle et u_c est donc inférieure à U_l.

Le composant électronique M permet l'allumage de la lampe L tant que la tension aux bornes du condensateur est inférieure à une tension limite , donc :

Si la lampe est déjà allumée, elle reste allumée lorsqu'on appuie sur le bouton poussoir.

Si la lampe est éteinte, elle s'allume lorsqu'on appuie sur le bouton poussoir.

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E = RCdu_c/dt + u_c.

du_c/dt =( E-u_c)/RC avec RC= 20 s et E= 30 V

du_c/dt =(30-u_c)/20 = 1,5 - u_c/20.

t(s)	0	2	4	6	8	10	12	...	20
uc(t)	0	3	5,7	8,14	10,3	12,3	14,1	....	19,6
duc(t)/dt	1,5	1,35	1,21	1,09	0,99	0,89	0,80	....	0,52

u_c(t+Dt)= u_c(t) + du_c(t) /dt* Dt.

u_c(2)= u_c(0) + [du_c(t)/dt]₀ *2 = 0+1,5*2 = 3 V
[du_c(t)/dt]₂ = 1,5-u_c(2)/20 = 1,5-3/20 = 1,35 V/s

u_c(4)= u_c(2) + [du_c(t)/dt]₂ *2 = 3 +1,35*2 = 5,7 V
[du_c(t)/dt]₄ = 1,5-u_c(4)/20 = 1,5-5,7/20 = 1,21 V/s

la courbe tracée avec les valeurs du tableau correspond bien, du moins au début , à la courbe réelle puis elle s'en écarte peu à peu.

On améliore la précision de la méthode d'Euler en diminuant la valeur du pas Dt mais le nombre de calculs à effectuer augmente beaucoup si D t diminue.

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I. Lumière émise par un laser : on dispose d'une diode laser S émettant un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde l= 0,790 l m.

1. Quelle est la couleur émise par cette diode laser ?
2. La lumière émise résulte d'une transition entre deux niveaux d'énergie E₁ et E₂ tels que E₂<E₁. Calculer en électronvolt l'écart énergétique E= E₁-E₂ entre ces deux niveaux.
   Données : c= 3,00 10⁸ m/s ; h= 6,63 10^-34 Js. 1 eV= 1,60 10^-19 J.

II. Caractère ondulatoire de la lumière : la lumière émise par la source S traverse une fente fine rectangulaire verticale de largeur d= 0,10 mm. Un phénomène du à la nature ondulatoire de la lumière est observé sur un écran placé à une distance D= 2,0 m de la fente.

1. Quel est le nom de ce phénomène ?
2. Décrire qualitativement ce que l'on observera sur l'écran.
3. Toutes les autres grandeurs restent inchangées, comment est modifiée la figure observée sur l'écran si :
   - On diminue la largeur de la fente.
   - On diminue la longueur d'onde.
   Justifier les réponses.

III. Application à la lecture d'un CD : dans un lecteur CD on lit les informations gravées sur le disque sous forme de petites cuvettes réfléchissantes dont le diamètre limite le nombre d'informations. Actuellement on éclaire le disque avec une diode laser de longueur d'onde l= 0,790 l m. prochainement, on va commercialiser des lecteurs utilisant une diode laser émettant une longueur d'onde dans le bleu. D'après la question II.3, quel intérêt présente ce changement de longueur d'onde ?

IV. Gravure d'un CD : la duplication en grande quantité d'un disque compact se fait par pressage de polycarbonate fondu à l'aide d'une matrice en nickel. Le procédé se déroule en trois étapes :

1^ère étape : fabrication du glassmaster : elle consiste à graver le disque de base( glassmaster) à partir duquel on va réaliser la duplication en série. On recouvre ensuite le glassmaster gravé d'une fine couche d'argent. On obtient alors le glassmaster métallisé.

2^ème étape : galvanoplastie. Elle consiste à créer une matrice, image symétrique du glassmaster. Ce dernier étant devenu conducteur après le dépôt d'argent est immergé pendant deux heures dans une solution acide de sulfamate de nickel où il va subir une électrolyse, l'autre électrode étant du nickel.

Le but de cette opération est de créer un dépôt de nickel sur le glassmaster. On sépare ensuite cette couche de nickel et on obtient une matrice, le père, qui est une image symétrique parfaite du glassmaster.

3^ème étape : le pressage. On place le père dans le moule d'une presse qui permet de dupliquer le disque en grand nombre.

Les questions qui suivent ne portent que sur la seconde étape, la galvanoplastie.

1. Sur le schéma suivant préciser le sens du courant et la polarité des bornes du générateur en justifiant.
2. Nommer les électrodes et préciser les équations des réactions qui s'y déroulent.
3. Le père obtenu est un disque de nickel de 23,0 cm de diamètre et de 3,05 10^-1 mm d'épaisseur. Vérifier que la masse du père est m=113 g.
   - En déduire la quantité de matière de nickel déposée pendant l'électrolyse.
4. L'électrolyse dure deux heures. Quelle doit être l'intensité du courant qui circule dans le circuit ?

Données : couple oxydant réducteur Ni²⁺/ Ni ; masse volumique du nickel : r= 8,90 g/cm³ ; masse molaire du nickel : 58,7 g/mol : e= 1,6 10^-19 C ; N_A= 6,02 10²³ mol^-1.

L'ammoniac, NH₃ est un gaz qui, dissout dans l'eau, donne une solution basique d'ammoniaque. Des solutions d'ammoniaque sont vendues dans le commerce. Ces solutions après dilution, sont utilisées comme produit nettoyant et détachant. On se propose d'étudier quelques propriétés de l'ammoniac dissout puis de déterminer sa concentration dans un de ces produits.

Données : masse molaire de l'ammoniac : 17g/mol ; couple acide base NH₄⁺ / NH₃ : K_a1 = 6,3 10^-10.

I. NH₃(aq) :

1. L'ammoniac est une base en solution aqueuse. Donner la définition d'une base selon Brönsted.
   - Ecrire l'équation de la réaction entre l'ammoniac et l'eau.
   - Exprimer puis calculer la constante d'équilibre de cette réaction.
2. On dissout dans un volume d'eau V=250 mL une quantité de matière n d'ammoniac égale à 2,5 10^-3 mol. Le pH de la solution S obtenue vaut 10,6. Calculer la concentration c en soluté apporté.
   - Calculer la concentration en ion oxonium H₃O⁺ dans la solution.
   - En déduire la concentration en ion hydroxyde HO^- dans la solution.
   - Montrer que le taux d'avancement final t peut s'écrire t= [HO^-]_f / c puis le calculer.
   - Que peut-on dire de la transformation ?

II. Détermination de la concentration en ammoniac de la solution commerciale :

1. Dilution de la solution commerciale.Afin de déterminer la concentration c₀ de la solution commerciale, on propose de réaliser un titrage acido-basique de la solution commerciale. Celle-ci étant très concentrée, on fabrique par dilution, une solution S₁ de concentration c₁ mille fois plus petite. Parmi les lots de verrerie proposés, choisir en justifiant, celui que l'on doit utiliser pour réaliser au mieux cette dilution.
   

   lot 1	lot 2	lot 3	lot 4
   pipette jaugée 1 mL	pipette graduée 10 mL	pipette jaugée 1 mL	pipette jaugée 10 mL
   becher 100 mL	fiole jaugée 1 L	fiole jaugée 1 L	fiole jaugée 1 L
   becher 50 mL	becher 50 mL	becher 50 mL	becher 50 mL

2. Titrage acido-basique : on réalise un titrage pH-métrique de v₁ = 20,0 mL de solution S₁ par une solution d'acide chlorhydrique (H₃O⁺ ; Cl^-) de concentration c_A= 1,50 10^-2 mol/L.
   L'équation support du titrage est : NH₃ + H₃O⁺ = H₂O + NH₄⁺.
   Pour obtenir l'équivalence il faut verser un volume V_E = 14,3 mL d'acide chlorhydrique. On note que le pH à l'équivalence vaut 5,7.
   - Définir l'équivalence d'un titrage.
   - Etablir la relation à l'équivalence entre c₁, V₁, c_A et V_E.
   - En déduire c₁ puis c₀.
   - Parmi les indicateurs colorés suivants, choisir en justifiant, celui qui pourrait être utilisé pour réaliser ce titrage de façon colorimétrique.

   indicateur coloré	couleur forme acide	zonne de virage	couleur forme basique
   hélianthine	rouge	3,1 - 4,4	jaune
   rouge de chlorophénol	jaune	5,2 - 6,8	rouge
   bleu de bromothymol	jaune	6,0 - 7,6	bleu
   phénolphtaléine	incolore	8,2 - 10	rose