1. La glande thyroïde produit des hormones essentielles à différentes fonctions de l'organisme à partir de l'iode alimentaire. Pour vérifier la forme ou le fonctionnement de cette glande, on procède à une scintigraphie thyroïdienne en utilisant les isotopes ¹³¹₅₃I ou ¹²³₅₃I de l'iode. Pour cette scintigraphie, un patient ingère une masse m= 1 mg d'isotope ¹³¹₅₃I. Constante d'Avogadro : N_A= 6,02 10²³ mol^-1 ; masse molaire de l'iode 131 : 131 g/mol.
2. Donner la composition de l'isotope ¹³¹₅₃I.
3. Montrer que le nombre d'atomes radioactifs initialement présents dans la dose ingérée est égal à 4,6 10¹⁵ atomes. Ce nombre sera noté N₀ par la suite. L'instant de l'ingestion est pris comme origine des dates (t=0).
4. L'isotopes ¹³¹₅₃I est radioactif b^-. Après avoir préciser les lois de conservation utilisées, écrire l'équation de désintégration. On admettra que le noyaux fils produit n'est pas dans un état excité.

   antimoine	tellure	iode	xénon	césium
   51Sb	52Te	53I	54Xe	55Cs

5. La demi-vie de l'isotope ¹³¹₅₃I vaut 8,0 jours. Rappeler la loi de décroissance radioactive en faisant intervenir N₀ et la constante radioactive l.
   - Définir la demi-vie t½ d'un échantillon radiactif. En déduire la relation ln2 =l t½.
   - Tracer la courbe correspondant à l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux radioactifs dans l'échantillon, en justifiant le raisonnement utilisé. On placera correctement les points correspondant aux instants de dates t½, 2t½ et 3t½.
6. On rappelle que l'activité A(t), à l'instant de date t, d'un échantillon de noyaux radioactifs est définie par A(t)=|dN(t)/dt|. A partir de la loi de décoissance radioactive montrer que l'activité de l'échantillon à l'instant de date t est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs à cet instant.
   - En déduire l'expression littérale de l'activité A₀ de l'échantillon à l'origine des dates, en fonction de N₀ et t_½. Calculer sa valeur numérique, exprimée dans le système international.
   - Calculer dans le système international, l'activité de l'échantillon à l'instant de l'examen, sachant qu'en général, l'examen est pratiqué 4 heures après l'ingestion de l'iode radioactif.
   - En déduire la perte relative d'activité |DA|/A₀=|A(t)-A₀|/A₀ entre les deux instants évoqués. Cette perte sera calculée et exprimée en pourcentage.
7. La demi-vie de l'isotope ¹²³₅₃I est 13,2 heures. On considère maintenant que le patient ingère une quantité d'isotope ¹²³₅₃I telle que l'activité initiale de cet isotope soit la même que celle de l'isotope ^1.1₅₃I trouvée ci-dessus. L'activité A calculée ci-dessus sera t'elle atteinte à après une durée identique, plus petite opu plus grande qu'avec l'isotope ¹³¹₅₃I de l'iode ? Justifier. Une méthode graphique peut être utilisée.  

Les ions iodures I^- réagissent avec les ions thiosulfate S₂O₈^2-. L'équation associée à cette réaction s'écrit :

2I^-(aq) + S₂O₈^2-(aq) = I₂(aq) + 2 SO₄^2-(aq) (1)

En présence d'ion iodure, le diiode se transforme en triiodure I₃^- de couleur brune. Pour simplifier l'écritue, on raisonnera à partir de l'équation (1) sans tenir compte de la formation des ions triiodure.

A un instant pris comme origine des dates (t=0), on réalise un mélange réactionnel S à partir d'un volume V₁=10,0 mL de solution aqueuse d'iodure de potassium ( K⁺ ; I^-) de concentration molaire en soluté apporté c₁= 0,50 mol/L et d'un volume V₂ = 10,0 mL d'une solution de peroxodisulfate de sodium (2Na⁺ ; S₂O₈^2-) de concentration molaire en soluté apporté c₂=5,0 10^-3 mol/L.

1. Suivi spectrophotométrique de la transformation chimique :
   On souhaite étudier la formation du diiode au cours du temps par spectrophotométrie. Un prélevement du mélange S est introduit rapidement dans la cuve d'un spectrophotomètre dont la longueur d'onde est réglée sur une valeur adaptée à l'absorption par le diiode. On admettra que le diiode est la seule espèce colorée présente dans le mélange et qu'au cours de l'expérience la température de la solution reste constante. Les résultats des mesures d'absorbance sont rassemblés dans le tableau ci-dessous :

   t min	1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	30	40	50	60	90
   A	0,08	0,13	0,23	0,31	0,39	0,45	0,50	0,55	0,59	0,62	0,65	0,74	0,77	0,79	0,79	0,79

   - La spectrophotométrie est une méthode non destructive pour suivre l'évolution d'un système chimique. Proposer une autre méthode de suivi cinétique non destructive.
   - La mesure de l'absorbance A de solutions aqueuses de diiode à différentes concentrations molaires c montre que A est proportionnelle à c. On détermine le coefficient de proportionnalité k à partir du couple de valeurs ( c= 5,0 10^-3 mol/L ; A= 1,7). Montrer que k vaut 3,4 10² et indiquer son unité.
   * Montrer que pour le mélange réactionnel S réalisé au début de l'étude, la quantité de matière de diiode formé à l'instant t s'exprime sous la forme n_I2(t) = A(t)/k( V₁+V₂)
   * Calculer la quantité de matière de diiode formé à la date t= 90 min.

   - On note x l'avancement de la réaction à la date t. A cet instant la quantité de diiode formé est x.

   

   La vitesse volumique de réaction est définie par v= 1/V_s dx/dt où V_s correspond au volume de la solution. Décrire l'évolution de la vitesse au cours du temps en précisant la méthode utilisée et la justifier d'après les connaissances du cours.
   Donner une méthode qui permettrait d'obtenir plus rapidement la même quantité finale de diiode à partir du même mélange réactionnel S.

2. Titrage du diiode formé après 90 min de réaction :
   On veut vérifier par un titrage la quantité de matière de diiode formé à l'instant de date t=90 min. Pour cela, à cet instant, on introduit dans un erlenmeyer contenant de l'eau glacée un échantillon de volume V= 5 mL du mélange S. A l'aide d'une solution étalon de thiosulfate de sodium (2Na⁺ ; S₂O₃^2-) de concentration molaire en soluté apporté c'= 2,5 10-3 mol/L, on titre le diiode présent dans l'échantillon en présence d'un indicateur coloré de fin de réaction. L'équivalence est atteinte pour un volume versé V_E= 9,2 mL. L'équation associée à la réaction de titrage est : I₂ + 2S₂O₃^2-= 2I^-+S₄O₆^2-
   - Représenter le schéma annoté du dispositif du titrage.
   - Exprimer littéralement en fonction de c' et de V_E la quantité de diiode formé, à l'instant de date t=90 min. Calculer la valeur de cette quantité de diiode formé. Cette valeur est-elle compatible avec celle trouvée ci-dessus.
3. Etude théorique et bilan comparatif :
   2I^-(aq) + S₂O₈^2-(aq) = I₂(aq) + 2 SO₄^2-(aq) (1)
   Les couples mis en jeu sont I₂(aq)/I^-(aq) et S₂O₈^2-(aq)/SO₄^2-
   - A partir des demi-équations retrouver l'équation (1).
   - La transformation chimique est supposée totale. Compléter le tableau d'avancement ci-dessous.

   	2I-	+ S2O82-	= I2	+ 2 SO42-
   initial
   en cours
   fin

   
   * En déduire l'avancement maximal et la quantité de matière maximale de diiode formé.
   * On appelle écart relatif d'une valeur expérimentale n_exp par rapport à sa valeur théorique n_th attendue, le rapport |n_exp- n_th|/ n_th. Comparer les résultats expérimentaux au résultat théorique. Commenter.

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corrigé

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Réaliser un suivi conductimétrique, la solution contenant des ions dont les concentrations varient.

A = k c d'où k = A/c =1,7 / 5 10^-3 = = 3,4 10² L.mol^-1.

Quantité de matière en diiode (mol) = concentration (mol/L) * volume de la solution (L)

n_I2 (t) = c V_Total = c (V₁ + V₂) = A(t) / k (V₁ + V₂)

A t = 90 min, A (t)= 0,79, d'où n_I2 =0,79/340( 10 +10)10^-3 = 4,6 10^-5 mol.

La vitesse volumique v de réaction est proportionnelle à dx/dt, coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré. Or les tangentes à la courbe sont de plus en plus inclinées sur l'horizontale lorsque le temps augmente. Le coefficient directeur de ces droites tangentes,et en conséquence la vitesse, est maximum à t =0 puis diminue pour atteindre une valeur nulle (partie horizontale de la courbe).

La concentration des réactifs, un facteur cinétique, est maximum au départ puis diminue car les réactifs sont consommés : en conséquence la vitesse de réaction diminue au cours du temps.

En augmentant la température (facteur cinétique), on peut obtenir plus rapidement la même quantité final de diiode.

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L'équivalence correspond au changement de réactif limitant.

A l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en quantités stoechiométriques

	I2	+ 2S2O32- ajouté	= 2I-	+S4O62-
initial	nI2 mol	0	0	0
en cours	nI2 -x	2x=c'V	2x	x
équivalence	nI2 -xéqui=0 nI2 =xéqui	2xéqui=c'VE	2xéqui	xéqui

n_I2 =x_équi =0,5 c'V_E

n_I2 = 0,5* 2,5 10^-3* 9,2 10^-3 = 1,15 10^-5 mol de diiode dans 5 mL

Donc dans 20 mL du mélange réactionnel S : 4*1,15 10^-5 = 4,6 10^-5 mol.

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Les demi-réactions d'oxydoréduction sont

I₂/I^- : 2 I^- = I₂ + 2 e^- oxydation

S₂O₈^2- / SO₄^2- : S₂O₈^2- + 2 e^- = 2 SO₄^2- réduction

	2I-	+ S2O82-	= I2	+ 2 SO42-
initial	c1V1= 0,5*10 10-3 =5 10-3 mol	c2V2= 5 10-3 *10 10-3 = 5 10-5 mol	0	0
en cours	5 10-3 -2x	5 10-5 -x	x	2x
fin	5 10-3 -2xmax	5 10-5 -xmax	xmax	2xmax

si I^- en défaut : 5 10^-3 -2x_max =0 soit x_max =2,5 10^-3 mol

si S₂O₈^2-en défaut : 5 10^-5 -x_max =0 soit x_max =5 10^-5 mol

La quantité maximale de diiode formée n_I2 = 5 10^-5 mol.

L'écart relatif vaut : (5-4,6)/5 = 0,080 soit 8,0 %.

L'écart est inférieur à 10% : le résultat expérimental est en accord avec le résultat théorique.

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Lors des derniers championnats du monde, le vainqueur du lancer du poids a réussi un jet à une distance D= 21,69 m. Pour simplifier le raisonnement on ne travaillera que sur le centre d'inertie du boulet ( nom courant donné au poids) .

l'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer. Pour cela il dispose pour le centre d'inertie du boulet, en plus de la valeur 21,69 m du reccord, de la vitesse initiale v₀= 13,7 m/s mesurée à l'aide d'un cinémomètre et de l'altitude h=2,62 m. Un mogiciel informatique lui permet de réaliser une simulation de ce lancer et de déterminer la valeur de l'angle du vecteur vitesse initiale avec l'horizontale a=43°.

L'entraîneur a étudié le mouvement du centre d'inertie du boulet et a obtenu 3 graphes : le graphe de la trajectoire y=f(x) du boulet, les graphes v_x et v_y en fonction du temps où v_x et v_y sont les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse. Pour chacun des graphes, les dates correspondant à deux points successifs sont séparés par le même intervalle de temps.

 

1. Etude des résultats de la simulation :
   - Etude le la projection horizontale du mouvement du centre d'inertie du boulet. En utilisant la figure 1, déterminer la composante v_0x du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet à l'instant de date t=0.
   * La nature du mouvement de la projection du centre d'inertie sur l'axe Ox en justifiant la réponse.
   * La composante v_Sx du vecteur vitesse du centre d'inertie lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire.
   - Etude des conditions initiales du lacer : en utilisant la figure 2, déterminer la composante v_0y du vecteur vitesse à l'instant de date t=0.
   * A partir des résultats précédents, vérifier que la valeur de la vitesse instantannée et l'angle de tir sont compatibles avec les valeurs données dans le texte.
   - Etude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet. Déterminer toutes les caractèristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire.
   * Sur le graphe y= f(x) tracer le vecteur vitesse v₀ du centre d'inertie du boulet à l'instant du lancer et le vecteur vitesse v_S du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire.( sans souci d'échelle)
2. Etude théorique du mouvement du centre d'inertie. Le boulet est une sphère de volume V et de masse volumique m=7100 kg/m³. La masse volumique de l'air est m'=1,29 kg/m³.
   - Exprimer littéralement la valeur P_A de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur ce boulet ainsi que la valeur P de son poids. Montrer que P_A est négligeable devant P.
   - Par application de la seconde loi de Newton, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer le vecteur accélération du centre d'inertie du boulet lors du mouvement. Du fait des faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air sont négligeables.
   - Dans le repère d'espace defini ci-dessus montrer que les équations horaires du mouvement s'expriment sous la forme : x(t) = v₀ cos a t et y(t) = -½gt²+v₀sina t + h.
   - En déduire l'équation de la trajectoire du centre d'inertie.
3. Comment améliorer la performance du lanceur ?
   L'entraîneur veut savoir sur quel(s) paramètre(s) il peut travailler pour améliorer la performance de l'athlète. Celui-ci est plus petit que le recordman du monde, sa taille est telle que l'altitude initiale de ses lancers n'est au maximum que de h'=2,45 m. L'entraîneur décide donc d'étudier l'influence de la valeur de la vitesse initiale v₀ et de l'angle de tir a. Il réalise des simulations rassemblées dans les réseaux de courbes des figures 3 et 4.
   Sur la figure 3 l'angle de tir est constant à 41°. Sur la figure 4 la vitesse est maintenue constante v₀=13,8 m/s.
   - A partir de ces figures 3 et 4 , entourer dans le tableau ci-dessous, la proposition correcte donnant l'évolution de la longueur du jet pour : a / l'angle a fixé ; b/ la valeur v₀ fixée.

   angle a fixé	vitesse initiale v0 fixée
   Quand v0 augmente, la distance horizontale D du jet :	Quand a augmente, la distance horizontale D du jet :
   - augmente	- augmente
   -diminue	-diminue
   - est la même	- est la même
   - augmente, passe par un maximum puis diminue	- augmente, passe par un maximum puis diminue
   - diminue, passe par un minimum puis augmente	- diminue, passe par un minimum puis augmente

   
   - Confronter les figures 3 et 4 pour en déduire si parmi les combinaisons proposées il en existe une satisfaisante pour battre le record du monde. Justifier.