II est possible de réaliser des photos très nettes d'objets de très petite taille à l'aide de la technique schématisée ci-dessous :

Le projecteur émet un fin pinceau lumineux. Un élévateur déplace verticalement un objet, à vitesse constante, durant la durée d'ouverture du diaphragme de l'appareil photo. Le cahier des charges impose une élévation à vitesse réglable mais constante, sans à coups. La solution choisie est un guidage rectiligne poussé par une vis, en rotation grâce à un petit moteur à courant continu alimenté par un convertisseur.

Partie A : étude du moteur à courant continu (12 points)

Le moteur à courant continu utilisé est à aimants permanents avec les caractéristiques suivantes :

tension d'alimentation nominale : U_N = 24 V ; résistance d'induit : r = 5,0 W.

I. Relation fondamentale :

1. Représenter le schéma électrique du modèle équivalent du moteur. En convention récepteur, flécher la force électromotrice E, ainsi que la tension U d'alimentation de l'induit et le courant I dans l'induit.
2. En appliquant la loi des mailles, en déduire la relation entre E, U, r et I.

II Essai à vide du moteur :

On réalise un essai du moteur à vide, c'est-à-dire désaccouplé de l'élévateur ; on relève : U_V = 24 V ; I_V = 100 mA ; n_V = 2350 tr / min.

1. Calculer la f.é.m E_V pour cet essai à vide.
2. Calculer la puissance totale absorbée P_V .
3. Montrer que les pertes par effet Joule P_JV sont égales à 50 mW.
4. En déduire que pour cet essai à vide, les pertes collectives P_CV (ensemble des pertes dans le fer et des pertes mécaniques) sont égales à 2,35 W.

III. Essai en charge du moteur couplé à l'élévateur seul

L'arbre du moteur entraîne maintenant le mécanisme de l'élévateur. On relève : U_N = 24 V ; I_N = 2,0 A ; n_N = 1500 tr / min.

1. Calculer la f.é.m E_N pour cet essai en charge.
2. Calculer : la puissance totale absorbée P_N ; les pertes par effet Joule P_JN.
3. On suppose que les pertes collectives P_C sont proportionnelles à la fréquence de rotation de l'arbre. En déduire les pertes collectives P_CN présentes dans le moteur lors de cet essai.
4. Calculer, dans ces conditions, la puissance utile P_UN du moteur.
5. Exprimer alors le rendement du moteur. Le résultat numérique est-il proche de 25%, 50%, 75% ou 90% ?

IV Essai en charge du moteur couplé à l'élévateur portant un objet

1. On place un objet pesant sur l'élévateur. Comment évolue l'intensité du courant d'induit du moteur par rapport à l'essai précédent ? Justifier la réponse.
2. On souhaite augmenter la vitesse de l'élévateur. Comment doit-on faire varier les paramètres du moteur ? 

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corrigé

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U=E+rI

f.é.m E_V pour cet essai à vide : E_V = U_V -rI_V= 24-5*0,1=23,5 V.

puissance totale absorbée P_V = U_V I_V = 24 * 0,1 = 2,4 W.

pertes par effet Joule P_JV = r I_V² = 5 * 0,1² = 0,05 W = 50 mW.

P_V = P_UV + P_jV + P_f + P_m avec P_UV = 0 et P_f + P_m = P_CV

d'où pertes collectives P_CV = P_V - P_jV = 2,4 - 0,05 = 2,35 W.

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f.é.m E_N pour cet essai en charge : E_N = U_N -rI_N= 24-5*2=14 V.

puissance totale absorbée P_N = U_N I_N = 24 * 2 = 48 W.

pertes par effet Joule P_JN = R I_N² = 5 * 2² = 20 W.

les pertes collectives P_C sont proportionnelles à la fréquence de rotation de l'arbre : 2,35/2350*1500 = 1,5 W.

puissance utile P_UN du moteur : P_N - P_jN - P_CN = 48 - 20 -1,5 = 26,5 W.

rendement du moteur 26,5/48 proche de 0,5 ( 50%)

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Pour un moteur à courant continu à aimants permanents, le couple électromagnétique T est proportionnel à I : T = k I

couple utile T_i = couple résistant T_r = couple électromécanique T - couple du aux pertes constante T_P.

En plaçant un objet sur l'élévateur, T_r augmente, T augmente donc I augmente.

Or E = k W = U - r.I

donc pour augmenter W , il faut augmenter U, la tension aux bornes de l'induit, sachant que I est constant.

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Partie B : alimentation du moteur (5 points)

Le moteur est alimenté par un convertisseur, lui-même en aval d'un transformateur supposé parfait.

1. La bobine d'inductance L (de résistance nulle), mise en série avec le moteur, lisse le courant i_M(t) au point de le rendre continu. Le rapport de transformation du transformateur vaut m = 0,10.
   - Quelles sont la valeur efficace et la fréquence de la tension u₂(t) ?
   - Donner la fonction et le nom du convertisseur qui a pour tension d'entrée u₂(t) et tension de sortie u₃(t).
   - On donne en synchronisme avec u₂(t) les intervalles de conduction, représentés en trait gras, des quatre interrupteurs.
2. Tracer sur la figure 1 du document le chronogramme de la tension u₃(t).
   - Exprimer la période de la tension u₃(t) en fonction de T, puis la calculer.
   - L'angle q de retard à l'amorçage des thyristors peut varier de 0 à p rad. Quelle est, ici, la valeur en radians de q ?
   - Exprimer la tension u_L(t) en fonction de l'intensité du courant parcourant la bobine.
   - Justifier que la valeur moyenne de u₃(t) est égale à celle de u(t).

Partie C : objectif de l'appareil photographique (3 points)

L'objectif de l'appareil photographique est assimilé à une lentille convergente de distance focale f = 20 cm.

1. Quelle est l'unité de la vergence ?
2. Calculer la vergence de l'objectif.
3. L'objectif de l'appareil photographique focalise sur l'objet. Compléter le trajet des rayons lumineux à travers l'objectif.