d'après bac Antilles septembre 2005

loi d'additivité des tensions E= u_AB + u_BC.

tension aux bornes de la bobine : u_AB = Ldi/dt + r i

tension aux bornes du résistor : u_BC= Ri

E= Ldi/dt + r i +Ri ; di/dt +(R+r)/L i = E/L équation différentielle vérifiée par l'intensité.

en posant a= (R+r)/L et b = E/L on retrouve le modèle mathématique

équation horaire littérale i(t) d'après le modèle mathématique : i(t) =b/a(1-exp(-at)

i(t) = E/(R+r) (1-exp( -(R+r)t/ L)

dériver par rapport au temps : di/dt = E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L)

repport dans l'équation différentielle :

E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L) + E/L(1-exp( -(R+r)t/ L) = E/L

La solution proposée valide bien l'équation différentielle.

Sachant que t = L/(R+r), cette équation horaire peut s'écrire i(t) = E/(R+r) (1-exp(-t/t)) .

On appellera I l'intensité en régime permanent : au bout d'un temps suffisamment long le régime permanent est atteint et exp(-t/t) tend vers zéro;

d'où I= E/(R+r).

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique r_fluide a été exploitée grâce à un logiciel.

v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) identifié à : v(t) = b/a (1-exp(-at))

d'où a= 1/0,132 = 7,58 s^-1; b/a = 1,14 soit b = 1,14 a= 1,14/0,132=8,64 m s^-2.

(1-exp(-t/0,132)) est sans dimension ; le second membre doit être homogène à une vitesse, en conséquence b/a est homogène à une vitesse, exprimée dans ce cas en m s^-1.

L'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture : dv/dt + a v=b soit dv/dt + 7,58 v = 8,64

Forces appliquées à la bille :

poids, vertical vers le bas, valeur mg : Vr_billeg

poussée d'Archimède, verticale vers le haut, valeur P= Vr_fluideg

force de frottement fluide, colinéaire et de sens contraire à la vitesse, valeur f= kv, ( k=constante)

En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, la seconde loi de Newton s'écrit :

mdv/dt = -kv +mg-Vr_fluide g ; mdv/dt +kv = mg-Vr_fluide g ; mdv/dt +kv = g(m-Vr_fluide )

dv/dt + k/m v = g(1-Vr_fluide /m).

expression littérale des coefficients a et b de l'équation :

a = k/m et b = g(1-Vr_fluide /m).

valeur du coefficient b si la poussée d'Archimède était nulle : b = g

Or l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture dv/dt + 7,58 v = 8,64 dans laquelle b = 8,64, valeur différente de 9,81.

La poussée d'Archimède doit donc être prise en compte.

 Le ¹¹C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson. Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi A(t) = A₀exp(-lt).

analyse dimensionnelle : dans l'expression "exp(-lt) " , lt est sans dimension, en conséquence l est homogène à l'inverse d'un temps [l]=T^-1.

relation liant l à la constante de temps t du radio isotope : l= 1 / t.

Loi d'évolution A(t) en fonction de t : A(t) = A₀ exp(-t/t).

constante de temps t : à t=t, A(t)= A₀ exp(-1) = 0,37 A₀.

demi vie t½ : durée au bout de laquelle l'activité A(t) est égale à la moitié de l'activité initiale A₀.

valeur de l = 1/t = 1/ 30 =3,4 10^-2 min^-1.

A(t) = A₀exp(-lt) ; dA(t)/dt = -A₀lexp(-lt) ; dA(t)/dt = -lA(t)

or

relation liant A(t+Dt), A(t), l et Dt : A(t+Dt) = A(t) -lA(t) Dt ; A(t+Dt) = A(t)(1-lDt).

La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Dt pour effectuer les calculs. Ce pas doit être de l'ordre du dixième de la constante de temps, c'est à dire de l'ordre de 3 min : la valeur Dt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.
On choisit de faire les calculs avec un pas Dt = 5 min.

A_Euler(5)= A₀(1-3,4 10^-2*5)=0,83 A₀= 0,83*3,00 10⁸ = 2,4910⁸ Bq.

A_théorique(10)= A₀exp(-10l)=3,00 10⁸ exp(-3,4*0,1)=2,14 10⁸ Bq.

date (min)	AEuler (Bq)	Athéorique (Bq)
0	3,00 108	3,00 108
5	2,49108	2,53 108
10	2,07 108	2,14 108
15	1,72 108	1,80 108

On considérera que le choix de Dt est pertinent si l'écart relatif entre A _Euler et A _théorique est inférieur à 5%.

Le plus grand écart est : 0,08/100 / 1,8 = 4,4%

La valeur proposée pour Dt est donc correctement adaptée.