L'équation différentielle dx/dt + ax =b (1), ( a et b étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur radioactive.

A. Dans le domaine des systèmes électriques :

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 ohms ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 ohms, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V.

On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-dessus. L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est obtenue par voie informatique.

La voie EA0 permet de visualiser la tension E et la voie EAl permet de visualiser la tension U_BC

1. Étude expérimentale : la courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique est donnée ci-dessous :

   - Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée.
   - t étant la constante de temps associée au dipôle {bobine-conducteur ohmique}. Donner l'expression littérale de t en fonction des paramètres du circuit.
   - En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit être comprise entre 0,95 H et 1,20 H).

2. Modèle théorique:
   - En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t).
   - Par identification avec l'équation (1) vérifier que a=(R+r)/L et donner l'expression de b.
   - En déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation différentielle établie.
   - Montrer que cette équation horaire peut s'écrire i(t) = E/(R+r) (1-exp(-t/t)) .
   - Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ?
   - Donner l'expression littérale de i(t) à la date t = t en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?

partie B : dans le domaine mécanique :

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique r_fluide a été exploitée grâce à un logiciel.

Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps. Les deux courbes, expérimentale et modélisée, sont proposées ci-dessous, mais ne donnent lieu à aucune exploitation.

1. Exploitation de l'équation v(t) modélisée. L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) (3), avec v(t) en m.s^-1 et t en s. Cette équation est identifiable à la solution du modèle mathématique correspondant à b différent de zéro.
   - Déterminer la valeur de a et du rapport b/a . Donner, sans justification, l'unité du rapport b/a .
   - Montrer que l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture dv/dt + 7,58 v = 8,64
2. Étude du phénomène physique.
   - Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.
   - Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.
3. Exploitation de la modélisation. La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V. L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m.s^-2. Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille sont colinéaires au vecteur vitesse mais de sens contraire.
   - En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative à la grandeur variable v(t) vérifie .
   - En déduire l'expression littérale des coefficients a et b de l'équation.
   - Quelle serait la valeur du coefficient b si la poussée d'Archimède était nulle ? Justifier que cette force doit être prise en compte.

C - Dans le domaine de la radioactivité :

Les traceurs radioactifs sont des radio-isotopes très utilisés en imagerie médicale pour l'exploration des organes. Des dispositifs adaptés transforment en image les mesures d'activité enregistrées. Le ¹¹C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson. Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi A(t) = A₀exp(-lt) (4).

1. L'évolution de l'activité d'un échantillon de ¹¹C est donnée sur le graphique 2. On va utiliser ce graphique pour atteindre les grandeurs radioactives caractéristiques du ¹¹C.

   - Montrer par analyse dimensionnelle que l (constante radioactive), est identifiable à l'inverse d'un temps.
   - Rappeler la relation liant l à la constante de temps t du radio isotope. Exprimer la loi d'évolution A(t) en fonction de t.
   - Évaluer graphiquement la valeur de la constante de temps t et en déduire la valeur de l. On prendra par la suite l = 3,40.10^-2 min^-l.
   - Définir le temps de demi-vie t_l/2 , le déterminer graphiquement.

2. A(t) = A₀exp(-lt) étant solution de l'équation différentielle, on se propose d'utiliser la méthode itérative d'Euler pour résoudre cette équation. On rappelle que pour une grandeur variable x(t), la méthode d'Euler permet d'écrire : . Exploiter cette équation pour établir la relation liant A(t+Dt), A(t), l et Dt.
3. L'activité initiale de la dose injectée au patient est A₀ = A(t₀) = 3,00.10⁸ Bq. La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Dt pour effectuer les calculs. Justifier que la valeur Dt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.
   - On choisit de faire les calculs avec un pas Dt = 5 min. Recopier et compléter le tableau ci-dessous mettant en parallèle les résultats obtenus avec la méthode d'Euler et ceux obtenus à partir de l'équation théorique (4).

   date (min)	AEuler (Bq)	Athéorique (Bq)
   0	3,00 108	3,00 108
   5		2,53 108
   10	2,07 108
   15	1,72 108	1,80 108

   On considérera que le choix de Dt est pertinent si l'écart relatif entre A _Euler et A _théorique est inférieur à 5%. La valeur proposée pour Dt vous semble-t-elle correctement adaptée ?

Certaines fleurs, comme celles des hortensias, possèdent des couleurs variées dues à des pigments naturels. Les couleurs rouge, mauve, violette et bleue viennent de la présence d'anthocyanines dans les pétales. La couleur violette est due à la molécule suivante que l'on notera HA dans la suite de l'exercice.

1. Introduction : HA peut appartenir à deux couples H₂A⁺ / HA de pKa₁ = 4,3 et HA / A^- de pKa₂ = 7. L'espèce H₂A⁺ est rouge, l'espèce HA est violette et l'espèce A^- est bleue. On rappelle que pKe = 14.
   - Donner la définition d'un acide selon Brönsted.
   - Préciser dans chacun des 2 couples la forme acide et la forme basique.
2. Comportement de HA en tant qu'acide :
   - Écrire l'équation de la réaction de HA en tant qu'acide avec l'eau.
   - Donner l'expression de la constante d'équilibre de cette réaction. Comment appelle-t-on cette constante ? Donner sa valeur.
   Le pH d'une solution contenant HA est de 10.
   - À partir de l'expression de K, évaluer littéralement, puis calculer le rapport [A^-]_éq/[HA]_éq.
   - En déduire l'espèce prédominante. Conclure sur la couleur de la solution.
3. Comportement de HA en tant que base :
   - Écrire l'équation de la réaction de HA en tant que base avec l'eau.
   - Donner l'expression de la constante d'équilibre K ' de cette réaction. Quelle est la relation entre Ka₁ et K ' ?
4. Conclusion : couleur des hortensias
   - Placer sur un diagramme les domaines de prédominance des espèces H₂A⁺ , HA et A^- suivant les valeurs du pH.
   - Pourquoi les fleurs d'hortensias peuvent-elles changer de couleur suivant la nature du sol ?