Aurélie jan 04

Kiné Limoges d'après concours 2004

gravitation -radioactivité - dipôle LC - chute d'une bille - diffraction - solution d'ammoniac

préparation du dihydrogène - solubilité du chlorure d'argent





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On considère 2 corps sphériques A et B, de centre GA et GB, de rayon r, de masse m et de masse volumique µ. Ils sont au contact l'un de l'autre. On appelle G la constante de gravitation universelle.

Données et approximations utiles : le volume d'une sphère de rayon R est V = 4/3 p R3;

1 / (r - r )² - 1 / (r + r )² =approximativement 4r / r3

1,33 = approximativement 2,2 = approximativement 1,5²

  1. Exprimer sous forme littérale l'intensité des forces gravitationnelles entre ces deux corps en fonction de G, m et r.
  2. Ces deux corps sont considérés comme des satellites naturels de saturne, leur point de contact se trouvant à une distance r du centre S de cette planète. GA et GB et S sont alignés (cf figure). Soit M la masse de Saturne.
    - Exprimer FAB la différence des intensités des forces de gravitation exercées par Saturne sur A et B en fonction de G, m, M, r en tenant compte d'une approximation citée plus haut.
    - Sous l'influence des seules forces considérées dans la question précédente (" a "), A et B tendent-ils à se séparer ou à s'assembler ? Justifier.
    - En considérant toutes les forces, écrire la condition pour que A et B aient tendance à s'assembler.
    Exprimer en fonction de M et µ la valeur minimale r0 de r pour laquelle les deux corps ont tendance à s'assembler.
  3. Saturne est entourée de milliers d'anneaux qu'en première approximation on peut regrouper en deux bandes annulaires séparées par un espace appelé la division de Cassini.
    - Dans quelle bande annulaire sont les matériaux les plus légers ?
    - On pose r0 = K / (µ)1/3 où K est voisin de 1,3.109 SI

Si µ = 1000 kg.m-3, calculer r0 en km.

Si r0 = 1000 000 km, calculer µ. 


corrigé
intensité des forces gravitationnelles entre ces deux corps :

forces attractives dirigées suivant GAGB de même valeur : F= Gm²/(2r)²= Gm²/ (4r²)

force attractive exercée par saturne sur A: FA= GMm/(r-r

force attractive exercée par saturne sur B: FB= GMm/(r+r

différence de ces deux valeurd : FAB= GMm( 1/(r-r)² - 1/ (r+r)²)= GMm 4r/r3.

les deux corps tendent à se séparer si FAB devient supérieure à F.

à la limite de la séparation : GMm 4r/r03=Gm²/ (4r²)

M 4r/r03=m/ (4r²) soit r03=16Mr3/m

avec m= 4/3pr3m d'où : r03=12M/p *1/m.

r0=(12M/p )1/3*1/m1/3= 1,3 109 /m1/3.

m intervient au dénominateur : r0 sera dautant plus grand que les matériaux seront moins denses. Les plus légers seront donc à une distance plus grande de saturne alors que les plus denses sront plus proches.

si m = 1000, alors m1/3=10 et r0= 1,3 109/10 = 1,3 108 m = 1,3 105 km.

si r0= 109 m alors m1/3=1,3 109 / 109 = 1,3 et m= 2,2 kg/m3.




Quand on envoie des deutons- ou noyaux de deutérium 21H sur une substance contenant du sodium 23, il y a formation de sodium 24 et d'une autre particule X. Pendant un intervalle de temps D T très bref, le rapport entre le nombre de noyaux de sodium 24 formés et D T est constant et vaut Q.

Données :

10Ne ; 11Na ; 12Mg Demi-vie du sodium 24 : t ½ = 14h

ln 2 = 0,7 ; Q = 108 s-1 ; e-1 = 0,37

  1. Ecrire l'équation nucléaire de la transformation ci-dessus. Quelle est cette particule X ?
  2. Le sodium 24 est émetteur radioactif ß-. Ecrire l'équation de sa désintégration.
  3. On étudie l'évolution avec le temps du nombre N (t) de noyaux de sodium 24 présents à l'instant t qui dépend de sa formation par irradiation de deutons et aussi de sa désintégrations radioactive. Soit l la constante radioactive du sodium 24. Pendant un intervalle de temps D t très faible devant la demi-vie du sodium 24, exprimer en fonction de certaines grandeurs choisies parmi Q, D t, N (t), ? :
    - le nombre D N1 de noyaux de sodium 24 formés
    - le nombre D N2 de noyaux de sodium 24 désintégrés
    - en déduire D N la variation du nombre de noyaux de sodium 24 pendant D t
    - à l'aide du résultat précédent et en faisant tendre D t vers 0, établir l'équation différentielle :
    dN (t) / dt + l N (t) = Q
  4. La solution de cette équation différentielle est de la forme : N (t) = B(1 - e -t/t)
    - Exprimer B et t en fonction Q et de l .
    - En déduire l'expression de N (t) en fonction du temps où figureront Q et l .
    Exprimer en fonction de Q et t ½ la valeur maximum de N (t) ainsi que les valeurs prises lorsque t = t ½ et t = t .
    En déduire l'allure du graphe représentant N (t) en fonction de t. On indiquera sur ce graphique les points correspondant aux instants t ½ et t .

corrigé
2
21H+ 1123Na-->1124Na + AZX

conservation de la charge électrique: 2+11=11+z soit Z=2

conservation du nombre de nucléons : 4+23=24+A soit A=3 donc AZX est 32He

1124Na --> 1224Mg + -10e

formation de 1124Na : DN1 = QDt

désintégration du 1124Na suivant la loi de décroissance radioactive: N= N0e-lt.

dériver par rapport au temps : dN/dt = -lN0e-lt soit dN= -lN dt ou D N2= -lN D t valeur négative

bilan : DN = DN1 + D N2=QDt -lN D t

à la limite : dN/dt = Q- lN soit dN/dt + lN = Q. (1)


dériver N (t) = B(1 - e -t/t) par rapport au temps : dN/dt = B/t e -t/t.

repport dans (1) : B/t e -t/t+ Bl-Ble -t/t= Q

B(1/t-l)e -t/t + Bl= Q

par identification Bl= Q soit 1/t-l=0 soit l=1/t et B= Q/l = Q/l =Qt.

N (t) =Q/l(1-e -lt)

si t tend vers l'infini N(t) tend vers Nm= Q/l ; N (t) =Nm(1-e -lt)

or l t½=ln2 d'où Nm=Q t½ / ln2.

à t= t½ , N(t½)= 0,5 Nm.

à t= t , N(t) = 0,63 Nm.


Un générateur de courant constant délivre un courant d'intensité i0 = 200 mA en étant connectées à l'ensemble d'une bobine et d'un condensateur reliés en parallèle (voir schéma). La bobine dont le coefficient d'inductance vaut L = 200 mH possède une résistance nulle. La capacité du condensateur est C= 200 nF. A l'instant t = 0 considéré comme origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.

  1. Que valent pour t = 0(juste avant l'ouverture de l'interrupteur K) l'intensité dans la bobine ? Justifier.
    - la tension aux bornes du condensateur ? Justifier.
  2. On ouvre l'interrupteur K. Etablir l'équation différentielle du circuit à laquelle obéit la charge q(t) = q de l'armature du condensateur relié à A. On fera obligatoirement un schéma faisant apparaître les tensions utilisées.
    - En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension u = uAB.
    -Cette dernière équation différentielle a une solution de la forme u= Asin (
    w0t + j ). En tenant compte des conditions pour t = 0 déterminer d'une part A en fonction de i0, C et w0 d'autre part j de façon que A soit une valeur positive.
  3. Donner sans démonstration l'expression littérale de w0 en fonction des caractéristiques du circuit. Calculer :
    - la période du phénomène.
    - la tension maximum um
    - exprimer l'intensité i en fonction du temps.
  4. Calculer l'énergie initiale stockée dans la bobine.
    - par des considérations énergétiques recalculer la valeur de um.
 


corrigé
K fermé : l'intensité du courant i0 est constante ; sa dérivée par rapport au temps est nulle

en conséquence la tension aux bornes de la bobine u=Ldi0/dt est nulle.

bobine et condensateur sont en dérivation, donc la tension aux bornes du condensateur est nulle et le condensateur ne se charge pas. Par contre la bobine stocke l'énergie ½Li0² =0,5*0,2*0,2² = 4 10-3 J.

donc à t=0 : intensité dans la bobine : i0

tension aux bornes du condensateur uAB=0.


charge q et tension aux bornes du condensateur sont proportionnelles : q=Cu

d'où u"+ 1/(LC) u=0.

on pose w0²= 1/(LC) = 1/(0,2*20010-9)= 108/4 soit w0= 5000 rad/s

période T= 2 p/ w0= 2*3,14/5000 =1,256 ms.


à t =0 la tension aux bornes du condensateur est nulle : u(0) = 0 = A sin j soit j = 0 ou j=p.

charge q(t) = Cu(t) = CA sin (w0t + j ).

dériver par rapport au temps pour obtenir l'intensité :

i = CAw0cos (w0t + j ).

à t=0 l'intensité vaut i0 dans la bobine : i0 = CAw0cos ( j ).

i0, CAw0étant positifs on élimine la valeur j=p.

A= i0 /( Cw0)= umax = 0,2/(200 10-9 *5000)=1000*0,2 = 200 V.

i(t) =0,2 cos(w0t )


énergie initialement stockée dans la bobine : ½Li0² =0,5*0,2*0,2² = 4 10-3 J.

échange permanent d'énergie entre bobine et condensateur : le condensateur stocke au plu s :

4 10-3 = ½Cu²max soit u²max= 8 10-3 /C = 8 10-3 / 2 10-7 =4 104 ; umax = 200 V.



Une bille sphérique de volume V = 4 cm3, de masse volumique rs = 3 g.cm-3 est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide de masse volumique rl = 0,8 g.cm-3. On observe qu'elle a un mouvement de chute verticale.

  1. Etablir l'équation différentielle du mouvement faisant intervenir la vitesse v(t) du centre d'inertie de la bille en fonction des données du texte. On admet que la force de frottement exercée par le liquide est de la forme f = k.v, de même direction que le mouvement, mais de sens opposé.
  2. Déterminer l'expression littérale de la vitesse limite atteinte Vlim et en déduire la valeur de la constante k (en unité S.I).

    Données : champ de pesanteur g= 10 m.s-2 et vitesse limite atteinte Vlim = 2,2 cm.s-1

     


corrigé
la bille est soumise à son poids, vertical vers le bas , valeur mg=rs V g

à la poussée d'Archimède, verticale vers le haut, valeur rl V g

à la force de frottement verticale, vers le haut : f= kv.

la seconde loi de Newton s'écrit suivant un axe vertical orienté vers le bas :

rs V g -rl V g -kv = rs V dv/dt

g -rl / rs g -k/(Vrs) v = dv/dt

dv/dt +k/(Vrs) v =g ( 1-rl / rs)

si la vitesse limite est atteinte le mouvement est rectiligne uniforme et dvlim/dt=0

k/(Vrs) vlim =g ( 1-rl / rs)

vlim = g ( 1-rl / rs)Vrs /k.

k= g ( 1-rl / rs) Vrs / vlim .

rs = 3000 kg/m3 ; V= 4 10-6 m3 ; Vlim = 2,2 10-2 m/s.

k=10(1-0,8/3) 4 10-6 *3000 / 2,2 10-2 = 10(1-0,26)*1,2/2,2 = 4 u S.I.



Un pinceau lumineux monochromatique, de longueur d'onde dans le vide l = 600 nm, traverse une fente de largeur a.

La figure de diffraction est observée sur un écran placé perpendiculairement au pinceau lumineux à une distance D = 2m.

  1. Calculer la fréquence de la radiation.
    - Quelle serait sa valeur si la radiation se propageait dans du verre d'indice n = 1,5 ?
  2. On mesure la distance séparant le milieu de la frange centrale et la première extinction : on obtient d = 20 mm.
    - Faire un schéma du dispositif faisant apparaître les données du texte. En déduire l'expression de la largeur de la fente en fonction de ces données et la calculer.
    Donnée : célérité de la lumière dans le vide c = 3.108 m.s-1

 


corrigé
fréquence
n = c/l = 3 108 / 600 10-9 = 5 1014 Hz.

la fréquence ne dépend pas du milieu de propagation, elle caractérise la radiation.

a= Dl /d= 2*600 10-9 / 2 10-2 = 6 10-5 m.



On considère une solution d'ammoniac de concentration c.

  1. Ecrire l'équation chimique de la réaction de l'ammoniac sur l'eau.
    - Montrer que [HO-] = 10 pH-14
    - Exprimer le taux d'avancement t de cette réaction en fonction du pH et de c.
  2. Lorsque c = 10-2 mol.L-1 pH = 10,6. En diluant 10 fois cette solution le pH devient égal à 10,1.
    - Comparez les deux taux d'avancement.
    - Justifiez le résultat en évoquant la loi d'évolution du quotient de réaction.

Ke = 10-14

 


corrigé
NH3 + H2O= NH4+ + HO- avec Qr,éq=[NH4+]éq[ HO-]éq/ [NH3]éq

produit ionique de l'eau [ HO-][H3O+] = 10-14 à 25 °C

[ HO-]10-pH = 10-14 ; [ HO-]=10-14 /10-pH ; [ HO-]=10pH-14 ;

taux d'avancement t =[ HO-] / c =10pH-14 /c

t1 = 1010,6-14 / 0,01 =10-1,4 =0,04.

t2 = 1010,1-14 / 0,001 =10-0,9 =0,126 trois fois plus grand que la valeur précédente avant dilution.

Qr,éq=[NH4+]éq[ HO-]éq/ [NH3]éq =(tc)² / (c(1-t))=t²c/(1-t)

la constante d'équilibre Qr,éq est constante si la température ne change pas ; en conséquence en diluant, la concentration diminue et t va augmenter.



Le dihydrogène peut être fabriqué en faisant l'électrolyse de l'eau acidifiée. Un procédé utilise une tension U = 2 V et une intensité I = 20 kA. L'équation de la transformation s'écrit : 2H2O (l) = 2H2 (g) + O2 (g) réaction (1)

  1. . A quelle électrode se dégage le dihydrogène.
    - Ecrire l'équation de la réaction correspondante.
  2. Soit x l'avancement de la réaction (1) au bout d'une durée t.
    - Exprimer la valeur absolue de la charge électrique ayant traversé l'électrolyseur :
    en fonction de t ; en fonction de x
    - Quel volume de dihydrogène a été fabriqué au bout d'une heure ?
  3. Calculer le nombre de kilowattheure par mètre cube nécessaire pour produire ainsi le dihydrogène. 

Données.

- Les couples oxydoréducteurs qui entrent en jeu dans l'électrolyse sont :

O2 (g) / H2O (l) et H+ (aq) / H2 (g)

- On prendra :

1 Faraday (F) = 105 C ; 1 kilowatt.heure (kWh) = 3,6 MJ

Volume molaire des gaz dans les conditions de fabrication Vm = 25 L.mol-1.

 


corrigé
réduction de l'ion oxonium H3O+ à la cathode : 2H3O++ 2 e- --> H2(g)+2H2O

x = quantité de matière H2 à la date t.

don 2x = quantité de matière d'électrons à la date t.

Quantité d'électricité : Q= I t = 20 000* 3600 = 7,2 107 C

or la charge d'un mole d'électrons est, en valeur absolue 105 C : 7,2 107 = 2 x 105 soit x =360 mol.

volume dihydrogène (L) = Qté de matière dihydrogène (mol) fois volume molaire des gaz

360*25 = 9000 L= 9 m3.

énergie consommée ( kWh) : U(V) I (kA) t(h) =2*20*1 = 40 kWh

soit pour 1 m3 : 40/9 = 4,4 kWh m-3.



On désigne par s et s' les solubilités respectives du chlorure d'argent AgCl (s) exprimées en mol.L-1 dans l'eau pure et dans une solution saturée d'ammoniac.

  1. Solubilité dans l'eau pure. La constante K1 associée à la dissociation du chlorure d'argent vaut K1 = 10-10.
    - Ecrire la réaction de dissociation de AgCl dans l'eau.
    - Calculer la solubilité s. En déduire la masse de chlorure d'argent dissoute dans un litre d'eau.
  2. Solubilité dans une solution d'ammoniac saturée de concentration molaire volumique c.
    L'ammoniac réagit sur les ions argent pour former l'ion complexe [Ag(NH3)2]+.
    - Ecrire l'équation de la réaction.
    - Exprimer la constante d'équilibre K2 de la réaction.
  3. K2 = 2,5.107. Montrer que l'on peut faire l'approximation [[Ag(NH3)2]+] = s'.
    - Le fait que la solution d'ammoniac soit saturée permet de faire l'approximation [NH3] = c
    - Exprimer s' en fonction de c, K1, K2.
    - c = 2 mol.L-1 Calculer s' et la masse de chlorure d'argent dissoute dans un litre d'une telle solution.
  4. Comparez les solubilités du chlorure d'argent dans l'eau et dans la solution d'ammoniac considérée.

 Données :

Masses molaires en g.mol-1 : Ag 108 ; Cl : 35,5 


corrigé
AgCl(s)=Ag++ Cl- avec K1 =[Ag+][Cl-]=s²= 10-10 d'où s= 10-5 mol/L.

masse molaire AgCl= 108+35,5 = 143,5 g/mol

s= 143,5 10-5 g/L

Ag+ + 2NH3 =[Ag(NH3)2]+ avec K2 = [[Ag(NH3)2]+] /( [Ag+ ][NH3]²)

K2 est très grand ; la solution d'ammoniac est saturée donc [NH3] = constante.

le numérateur [[Ag(NH3)2]+] est alors très supérieur au dénominateur [Ag+ ] : [[Ag(NH3)2]+] voisin s'.

s'=[Ag+ total ]=[Ag+ ]+ [[Ag(NH3)2]+] = [Cl-]

s' =[Ag+ ](1+[[Ag(NH3)2]+] /[Ag+ ]) = [Cl-]

s' =[Ag+ ](1+K2[NH3]²) = [Cl-]

s'²=[Ag+ ][Cl-](1+K2[NH3]²) = K1(1+K2[NH3]²) =K1(1+K2c²) voisin de K1K2c².

s' = (K1K2)½c = (10-10*2,5 107)½*2= (25 10-4)½ * 2 =0,1 mol/L ou 14,3 g/L.

valeur 104 fois plus grande que la solubilité s dans l'eau.



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