On considère 2 corps sphériques A et B, de centre G_A et G_B, de rayon r, de masse m et de masse volumique µ. Ils sont au contact l'un de l'autre. On appelle G la constante de gravitation universelle.

Données et approximations utiles : le volume d'une sphère de rayon R est V = 4/3 p R³;

1 / (r - r )² - 1 / (r + r )² =approximativement 4r / r³

1,3³ = approximativement 2,2 = approximativement 1,5²

1. Exprimer sous forme littérale l'intensité des forces gravitationnelles entre ces deux corps en fonction de G, m et r.
2. Ces deux corps sont considérés comme des satellites naturels de saturne, leur point de contact se trouvant à une distance r du centre S de cette planète. G_A et G_B et S sont alignés (cf figure). Soit M la masse de Saturne.
   - Exprimer F_AB la différence des intensités des forces de gravitation exercées par Saturne sur A et B en fonction de G, m, M, r en tenant compte d'une approximation citée plus haut.
   - Sous l'influence des seules forces considérées dans la question précédente (" a "), A et B tendent-ils à se séparer ou à s'assembler ? Justifier.
   - En considérant toutes les forces, écrire la condition pour que A et B aient tendance à s'assembler.
   Exprimer en fonction de M et µ la valeur minimale r₀ de r pour laquelle les deux corps ont tendance à s'assembler.
3. Saturne est entourée de milliers d'anneaux qu'en première approximation on peut regrouper en deux bandes annulaires séparées par un espace appelé la division de Cassini.
   - Dans quelle bande annulaire sont les matériaux les plus légers ?
   - On pose r₀ = K / (µ)^1/3 où K est voisin de 1,3.10⁹ SI

Si µ = 1000 kg.m^-3, calculer r₀ en km.

Si r₀ = 1000 000 km, calculer µ. 

Quand on envoie des deutons- ou noyaux de deutérium ²₁H sur une substance contenant du sodium 23, il y a formation de sodium 24 et d'une autre particule X. Pendant un intervalle de temps D T très bref, le rapport entre le nombre de noyaux de sodium 24 formés et D T est constant et vaut Q.

Données :

₁₀Ne ; ₁₁Na ; ₁₂Mg Demi-vie du sodium 24 : t ½ = 14h

ln 2 = 0,7 ; Q = 10⁸ s^-1 ; e^-1 = 0,37

1. Ecrire l'équation nucléaire de la transformation ci-dessus. Quelle est cette particule X ?
2. Le sodium 24 est émetteur radioactif ß^-. Ecrire l'équation de sa désintégration.
3. On étudie l'évolution avec le temps du nombre N (t) de noyaux de sodium 24 présents à l'instant t qui dépend de sa formation par irradiation de deutons et aussi de sa désintégrations radioactive. Soit l la constante radioactive du sodium 24. Pendant un intervalle de temps D t très faible devant la demi-vie du sodium 24, exprimer en fonction de certaines grandeurs choisies parmi Q, D t, N (t), ? :
   - le nombre D N₁ de noyaux de sodium 24 formés
   - le nombre D N₂ de noyaux de sodium 24 désintégrés
   - en déduire D N la variation du nombre de noyaux de sodium 24 pendant D t
   - à l'aide du résultat précédent et en faisant tendre D t vers 0, établir l'équation différentielle :
   dN (t) / dt + l N (t) = Q
4. La solution de cette équation différentielle est de la forme : N (t) = B(1 - e ^-t/t)
   - Exprimer B et t en fonction Q et de l .
   - En déduire l'expression de N (t) en fonction du temps où figureront Q et l .
   Exprimer en fonction de Q et t ½ la valeur maximum de N (t) ainsi que les valeurs prises lorsque t = t ½ et t = t .
   En déduire l'allure du graphe représentant N (t) en fonction de t. On indiquera sur ce graphique les points correspondant aux instants t ½ et t .

Un générateur de courant constant délivre un courant d'intensité i₀ = 200 mA en étant connectées à l'ensemble d'une bobine et d'un condensateur reliés en parallèle (voir schéma). La bobine dont le coefficient d'inductance vaut L = 200 mH possède une résistance nulle. La capacité du condensateur est C= 200 nF. A l'instant t = 0 considéré comme origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.

1. Que valent pour t = 0(juste avant l'ouverture de l'interrupteur K) l'intensité dans la bobine ? Justifier.
   - la tension aux bornes du condensateur ? Justifier.
2. On ouvre l'interrupteur K. Etablir l'équation différentielle du circuit à laquelle obéit la charge q(t) = q de l'armature du condensateur relié à A. On fera obligatoirement un schéma faisant apparaître les tensions utilisées.
   - En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension u = u_AB.
   -Cette dernière équation différentielle a une solution de la forme u= Asin (w₀t + j ). En tenant compte des conditions pour t = 0 déterminer d'une part A en fonction de i₀, C et w₀ d'autre part j de façon que A soit une valeur positive.
3. Donner sans démonstration l'expression littérale de w₀ en fonction des caractéristiques du circuit. Calculer :
   - la période du phénomène.
   - la tension maximum u_m
   - exprimer l'intensité i en fonction du temps.
4. Calculer l'énergie initiale stockée dans la bobine.
   - par des considérations énergétiques recalculer la valeur de u_m.

 

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corrigé

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K fermé : l'intensité du courant i₀ est constante ; sa dérivée par rapport au temps est nulle

en conséquence la tension aux bornes de la bobine u=Ldi₀/dt est nulle.

bobine et condensateur sont en dérivation, donc la tension aux bornes du condensateur est nulle et le condensateur ne se charge pas. Par contre la bobine stocke l'énergie ½Li₀² =0,5*0,2*0,2² = 4 10^-3 J.

donc à t=0 : intensité dans la bobine : i0

tension aux bornes du condensateur u_AB=0.

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charge q et tension aux bornes du condensateur sont proportionnelles : q=Cu

d'où u"+ 1/(LC) u=0.

on pose w₀²= 1/(LC) = 1/(0,2*20010^-9)= 10⁸/4 soit w₀= 5000 rad/s

période T= 2 p/ w₀= 2*3,14/5000 =1,256 ms.

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à t =0 la tension aux bornes du condensateur est nulle : u(0) = 0 = A sin j soit j = 0 ou j=p.

charge q(t) = Cu(t) = CA sin (w₀t + j ).

dériver par rapport au temps pour obtenir l'intensité :

i = CAw₀cos (w₀t + j ).

à t=0 l'intensité vaut i₀ dans la bobine : i₀ = CAw₀cos ( j ).

i₀, CAw₀étant positifs on élimine la valeur j=p.

A= i₀ /( Cw₀)= u_max = 0,2/(200 10^-9 *5000)=1000*0,2 = 200 V.

i(t) =0,2 cos(w₀t )

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énergie initialement stockée dans la bobine : ½Li₀² =0,5*0,2*0,2² = 4 10^-3 J.

échange permanent d'énergie entre bobine et condensateur : le condensateur stocke au plu s :

4 10^-3 = ½Cu²_max soit u²_max= 8 10^-3 /C = 8 10^-3 / 2 10^-7 =4 10⁴ ; u_max = 200 V.

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Une bille sphérique de volume V = 4 cm³, de masse volumique r_s = 3 g.cm^-3 est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide de masse volumique r_l = 0,8 g.cm^-3. On observe qu'elle a un mouvement de chute verticale.

1. Etablir l'équation différentielle du mouvement faisant intervenir la vitesse v(t) du centre d'inertie de la bille en fonction des données du texte. On admet que la force de frottement exercée par le liquide est de la forme f = k.v, de même direction que le mouvement, mais de sens opposé.
2. Déterminer l'expression littérale de la vitesse limite atteinte V_lim et en déduire la valeur de la constante k (en unité S.I).

   Données : champ de pesanteur g= 10 m.s^-2 et vitesse limite atteinte V_lim = 2,2 cm.s^-1

    

Un pinceau lumineux monochromatique, de longueur d'onde dans le vide l = 600 nm, traverse une fente de largeur a.

La figure de diffraction est observée sur un écran placé perpendiculairement au pinceau lumineux à une distance D = 2m.

1. Calculer la fréquence de la radiation.
   - Quelle serait sa valeur si la radiation se propageait dans du verre d'indice n = 1,5 ?
2. On mesure la distance séparant le milieu de la frange centrale et la première extinction : on obtient d = 20 mm.
   - Faire un schéma du dispositif faisant apparaître les données du texte. En déduire l'expression de la largeur de la fente en fonction de ces données et la calculer.
   Donnée : célérité de la lumière dans le vide c = 3.10⁸ m.s-1

On considère une solution d'ammoniac de concentration c.

1. Ecrire l'équation chimique de la réaction de l'ammoniac sur l'eau.
   - Montrer que [HO^-] = 10 ^pH-14
   - Exprimer le taux d'avancement t de cette réaction en fonction du pH et de c.
2. Lorsque c = 10^-2 mol.L^-1 pH = 10,6. En diluant 10 fois cette solution le pH devient égal à 10,1.
   - Comparez les deux taux d'avancement.
   - Justifiez le résultat en évoquant la loi d'évolution du quotient de réaction.

Ke = 10^-14

Le dihydrogène peut être fabriqué en faisant l'électrolyse de l'eau acidifiée. Un procédé utilise une tension U = 2 V et une intensité I = 20 kA. L'équation de la transformation s'écrit : 2H₂O (l) = 2H₂ (g) + O₂ (g) réaction (1)

1. . A quelle électrode se dégage le dihydrogène.
   - Ecrire l'équation de la réaction correspondante.
2. Soit x l'avancement de la réaction (1) au bout d'une durée t.
   - Exprimer la valeur absolue de la charge électrique ayant traversé l'électrolyseur :
   en fonction de t ; en fonction de x
   - Quel volume de dihydrogène a été fabriqué au bout d'une heure ?
3. Calculer le nombre de kilowattheure par mètre cube nécessaire pour produire ainsi le dihydrogène. 

Données.

- Les couples oxydoréducteurs qui entrent en jeu dans l'électrolyse sont :

O₂ (g) / H₂O (l) et H⁺ (aq) / H₂ (g)

- On prendra :

1 Faraday (F) = 10⁵ C ; 1 kilowatt.heure (kWh) = 3,6 MJ

Volume molaire des gaz dans les conditions de fabrication Vm = 25 L.mol^-1.

On désigne par s et s' les solubilités respectives du chlorure d'argent AgCl (s) exprimées en mol.L^-1 dans l'eau pure et dans une solution saturée d'ammoniac.

1. Solubilité dans l'eau pure. La constante K₁ associée à la dissociation du chlorure d'argent vaut K₁ = 10^-10.
   - Ecrire la réaction de dissociation de AgCl dans l'eau.
   - Calculer la solubilité s. En déduire la masse de chlorure d'argent dissoute dans un litre d'eau.
2. Solubilité dans une solution d'ammoniac saturée de concentration molaire volumique c.
   L'ammoniac réagit sur les ions argent pour former l'ion complexe [Ag(NH₃)₂]⁺.
   - Ecrire l'équation de la réaction.
   - Exprimer la constante d'équilibre K₂ de la réaction.
3. K₂ = 2,5.10⁷. Montrer que l'on peut faire l'approximation [[Ag(NH₃)₂]⁺] = s'.
   - Le fait que la solution d'ammoniac soit saturée permet de faire l'approximation [NH₃] = c
   - Exprimer s' en fonction de c, K₁, K₂.
   - c = 2 mol.L^-1 Calculer s' et la masse de chlorure d'argent dissoute dans un litre d'une telle solution.
4. Comparez les solubilités du chlorure d'argent dans l'eau et dans la solution d'ammoniac considérée.

 Données :

Masses molaires en g.mol^-1 : Ag 108 ; Cl : 35,5