A- Un solide (S) de masse m=150 g est suspendu à un ressort élastique à spires non jointives. Ce dernier subit un allongement a₀=4,9 cm. Calculer la constante de raideur k du ressort. g=9,8 m/s².

B- le solide est percé selon un axe de symétrie et peut glisser sans frottement sur une tige horizontale. La tige est soudée à un axe vertical D. Le ressort précédent est enfilé sur la tige. L'une de ses extrémité est fixée à l'axe, l'autre au solide S. Lorsque le dispositif est au repos, le centre d'inertie G du solide S se trouve à une distance L= 10 cm de l'axe D. Tous les frottements sont négligés. Le niveau de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur est le plan horizontal contenant la tige.

1. Le dispositif est mis en rotation uniforme autour de l'axe D avec la vitesse angulaire w.
   - Faire le bilan des forces appliquées au solide S et les représenter sur un schéma.
   - L'allongement subit par le ressort au cours de cette rotation uniforme est a₀= 4,9 cm. Calculer la valeur de la vitesse angulaire w. L'accélération du centre d'inertie G peut être exprimée dans la base de Frenet que l'on définira.
   - Exprimer en fonction de k, L et a₀, l'énergie mécanique du solide S au cours de cette rotation uniforme et calculer sa valeur numérique.
2. La tige est maintenant immobile; le solide S est écarté de sa position d'équilibre de x₀ = 4,9 cm puis laché sans vitesse initiale à l'instant t=0. La position du centre d'inertie G du solide est repéré à l'instant t par son abscisse x dont la valeur est nulle lorsque le solide est en équilibre au repos.
   - Appliquer la seconde loi de Newton au solide S pour montrer que l'équation différentielle du mouvement de G est mx"+kx=0.
   - Sachant que la solution de cette équation est de la forme x(t) = X_m cos(2pt/T₀+j) avec T₀ =2p racine carrée (m/k) déterminer les valeurs de X_m et j.
   - Que représente T₀ ? Comment l'appelle-ton ? Calculer sa valeur.
   - Montrer que l'énergie mécanique du solide S est constante. L'exprimer en fonction de k et a₀. Calculer sa valeur.

---

corrigé

---

allongement et tension du ressort sont proportionnels

T= ka₀ avec T( N) ; a₀ en mètre et k raideur en N/m.

à l'équilibre la tension et le poids suspendu ont même valeur T=mg avec m en kg.

d'où k= mg/ a₀ = 0,15*9,8 / 0,049 = 30 N/m.

poids et action du support se neutralisent.

base de Frenet : l'un des vecteur unitaire noté n est horizontal, centripète, dirigé vers l'axe de rotation

l'autre vecteur est porté par la tangente à la trajectoire et a le sens de la vitesse.

dans cette base l'accélération normale a_N= v²/ (L+a₀) = w² (L+a₀)

la seconde loi de Newton s'écrit suivant le vecteur unitaire n : T= mw² (L+a₀) = ka₀.

d'où w² = ka₀ / (m(L+a₀)) = 30*0,049/(0,15*0,149)= 65,77

w = racine carrée (65,77) = 8,1 rad/s.

l'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique

énergie cinétique ½mv² = ½mw² (L+a₀)²

énergie potentielle de pesanteur nulle ( déplacement dans un plan horizontal)

énergie potentielle élastique ( ressort déformé) : ½ka₀²

énergie mécanique : E_M= ½mw² (L+a₀)² + ½ka₀²

E_M= 0,5*0,15*8,1²*0,149² + 0,5 *30*0,049²=0,109 + 0,036= 0,145 J.

---

 

poids et action du support se compensent et T= -kx ;

écrire la seconde loi de Newton suivant l'axe X

mx"= -kx soit mx" + kx = 0 ou bien x" + w² x=0 avec w² = k/m

x(t) = X_m cos(2pt/T₀+j)

à l'instant initial t=0 ; position initiale x₀ = a₀ ; vitesse initiale nulle.

d'où a₀ = X_m cos(j) ; X_m = a₀ est l'amplitude positive donc cos(j) =1 et j =0

en dérivant on trouve l'expression de la vitesse : x'= X_m(-2p/T₀) sin(2pt/T₀+j)

celle si est nulle à t=0 d'où 0 = X_m(-2p/T₀)sin(j)

X_mn'est pas nulle donc sin(j) = 0 et j =0

T₀ est la période en seconde.

T₀ =2p racine carrée (m/k) = 2*3,14 rac carrée (0,15 / 30) = 0,444 s.

les frottements sont négligés, en conséquence l'énergie mécanique du solide S se conserve

E_M= ½mv² + ½kx²

à la date t=0 la vitesse est nulle et l'énergie mécanique se trouve entierement sous forme potentielle élastique ½ka₀².

E_M= ½ka₀² = 0,5*30*0,049²= 0,036 J.

---

---

On installe un radar au borsd d'une route. Ce radar est équipé d'un flash constitué notamment d'un condensateur et d'une lampe à éclat. Le condensateur de capacité C= 150 mF est chargé sous une tension continue U=330 V. Lorsque la vitesse mesurée d'un véhicule est supérieure à la vitesse limite autorisée, un système permet la décharge rapide de ce condensateur dans une lampe à éclat provoquant alors le flash.

A- Etude de la puissance du flash.

1. Donner l'expression de l'énergie électrique E_e stockée dans le condensateur de ce flash lorsqu'il est chargé. Calculer sa valeur.
2. La décharge rapide provoque un éclair d'une durée voisine de 1 ms. Quelle est la valeur de la puissance électrique P_e consommée pour obtenir cet éclair ?

B- étude du circuit RC du flash.

Après plusieurs réclamations pour déclenchement intempestif, les services techniques de la police veulent vérifier la valeur de la capacité C de ce condensateur en réalisant le montage de la figure ci-dessous.

La fem E du générateur de tension continue vaut E= 12 V et sa résistance interne est négligeable. A la date t=0 on ferme le circuit et on note l'intensité du courant toutes les 10 s.

t(s)	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
I(mA)	54	40,6	30,6	23	17,4	13,1	9,8	7,3	5,6	4,2

1. Sachant que le condensateur est entirement déchargé à t=0, déterminer la valeur numérique de la résistance R utilisée.
2. Tracer la courbe i=f(t) à partir des mesures.
3. L'intensité décroît selon la loi i(t) = I₀ exp(-t/t), t étant la constante de temps de ce circuit et I₀ l'intensité à t=0.
   - Quelle est la valeur numérique de l'intensité si t=t ?
   - En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
   - Ce résultat est-il conforme aux indications du fabricant qui indique une marge d'erreur de 10 %. Les plaintes sont-elles justifiées ?

A haute altitude un noyau d'azote ¹⁴₇N se transforme en carbone ¹⁴₆C sous l'effet du bombardement d'un neutron

1. Ecrire l'équation de cette réaction nucléaire
2. Le carbone 14 formé est radioactif b^-. Ecrire l'équation de sa désintégration.
3. Le temps de demi-vie ou période du carbone 14 est t½=5590 ans. Les plantes vivantes assimilent constamment le carbone 14 dans l'atmosphère. A leur mort le processus s'arrête. Un échantillon de bois préhistorique donne 197 désintégrations par minute. Un échantillon de bois récent, de masse identique, donne 1350 désintégrations par minute. Quel est l'âge du bois préhistorique ?

On considère l'alcool 5-méthyl-2-isopropylcyclohexan-1-ol, encore appelé menthol dans lequel le groupe isopropyl est -CH(CH₃)₂.

1. Donner la formule semi-developpée du menthol. Préciser la classe de cet alcool.
2. Ecrire la formule semi-développée et donner la représentation topologique de la menthone, sachant que cette dernière résulte de l'oxydation ménagée du menthol.
3. Le menthol est oxydé en milieu acide par les ions permanganate qui donnenet l'ion Mn²⁺. Ecrire les demi-équations électroniques des couples redox mis en jeu. En déduire l'équation chimique de la réaction d'oxydoréduction.
4. On appelle rendement d'une transformation chimique le rapport entre la quantité de matière du produit réellement obtenue et la quantité de matière de produit que l'on aurait obtenu si la réaction était totale. Déterminer le rendement de cette réaction d'oxydoréduction sachant qu'on a obtenu une masse m=30,7 g de menthone en oxydant 39 g de menthol.
   C=12 ; H=1 ; O=16 g/mol.

---

corrigé

---

2 fois{MnO₄^- + 5e^- + 8 H⁺ --> Mn²⁺ + 4H₂O}

l'alcool secondaire le menthol noté A s'oxyde en cétone la menthone notée D : 5 fois{ A--> D + 2e^- + 2 H⁺}

2 MnO₄^- +16 H⁺ +5 A --> 2 Mn²⁺ + 8 H₂O+ 5 D + 10 H⁺

masse molaire du menthol C₁₀ H₂₀ O : 12*10+20+16 = 156g/mol

masse molaire de la menthone C₁₀ H₁₈ O : 12*10+18+16 = 154g/mol

Qté de matière menthol : 39/156 = 0,25 mol

on peut obtenir au mieux 0,25 mol de menthone

masse théorique de menthone : 0,25* 154 =38,5 g

rendement h= Qté réelle / qté théorique *100 = 30,9 / 38,5*100 =80 %.

---

On dissout une masse m= 1 g d'un mélange de chlorure de sodium et d'hydroxyde de sodium dans de l'eau distillée de manière à obtenir une solution A de volume V = 1L. Le pH de cette solution est 12.

1. Ecrire les équations chimiques de dissolution dans l'eau du chlorure de sodium et de l'hydroxyde de sodium
2. Quelles sont les espèces chimiques présentes dans cette solution ?
3. Calculer les concentrations molaires volumiques de toutes les espèces

masse molaire NaOH : 40 g/mol ; NaCl : 58,5 g/mol.