Ondes (4 points)

1. Ondes mécaniques
   Un vibreur est le siège d’un mouvement vibratoire périodique de fréquence f = 100 Hz. Les vibrations qu’il crée se propagent le long d’une corde élastique, à partir de son extrémité S, avec la célérité v = 8,0 m.s^–1.
   - Exprimer littéralement puis calculer la longueur d’onde l de l’onde qui se propage le long de la corde.
   - Comparer le mouvement d’un point A situé à 16 cm du point S à celui d’un point B situé à 40 cm de S. Justifier.
2. 2. Ondes sonores
   Les chauves-souris sont capables de repérer leurs proies grâce aux ondes ultrasonores. Elles émettent des ultrasons et l’analyse de l’écho renvoyé par les proies permet de localiser celles-ci. On suppose qu’une chauve-souris veuille repérer un insecte situé à une distance d = 3,5 m d’elle. La chauve-souris et l’insecte sont immobiles dans le référentiel terrestre. La vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans l’air est v = 350 m.s^–1. Le milieu ambiant est supposé homogène et non dispersif.
   - Définir un milieu non dispersif.
   - Quelle doit-être la durée maximale de l’émission pour que le front de l’onde réfléchie ne se superpose pas à l’onde émise ?
3. 3. Ondes lumineuses
   La lumière monochromatique issue d’un laser est diffractée par une fente fine verticale de largeur a. La figure de diffraction est observée sur un écran situé à la distance D de la fente. La largeur de la tache centrale a pour valeur 2d. On appelle écart angulaire l’angle q entre le milieu de la tache centrale et la première extinction.
   - Faire une figure claire, dans le plan horizontal contenant le faisceau laser et la figure de diffraction, en y indiquant les grandeurs d, D et q.
   - L’écran est situé loin de la fente et l’écart angulaire est petit : on peut faire l’approximation q =tan q. ( q étant exprimé en radians). En déduire l’expression de q en fonction de d et D.
   - L’écart angulaire q dépend de la longueur d’onde l de la radiation utilisée ainsi que de la largeur de la fente. Donner l’expression littérale correspondante.
   - En déduire l’expression littérale de la longueur d’onde l en fonction de d, D et a.
   - Calculer la longueur d’onde l sachant que a = 0,10 mm, D = 2,0 m et d = 2,0 cm.

(6 points)

Un pendule élastique est constitué d’un mobile de masse m = 100 g pouvant se déplacer sur un banc à coussin d’air horizontal. Ce mobile est attaché à un point fixe par un ressort à spires non jointives de raideur k = 10 N.m^–1. À l’équilibre, la position du centre d’inertie du mobile coïncide avec le point O, origine du repère (O ; i ). On écarte le solide de sa position d’équilibre et on le lance avec une vitesse v₀ à un instant pris comme origine des dates.

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pendant la durée de l’étude. Les frottements exercés par l’air peuvent être modélisés par une force f colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse v du centre d’inertie G du mobile telle que la valeur de f soit f=mv

1. Exprimer la coordonnée F_x de la force F exercée par le ressort sur le solide en fonction de l’abscisse x du centre d’inertie G.
2. Exprimer la coordonnée f_x de la force de frottement f en fonction de la coordonnée v_x du vecteur vitesse v .
3. Faire le bilan des forces appliquées au solide lors de son mouvement (t = 0). Représenter ces forces, sans souci d’échelle, sur deux schémas différents numérotés, (dans chacun des cas, le mobile sera représenté dans la position qu’il occupe sur le schéma ci-dessus à l’instant de date t₁ :
   - schéma n°1 : lorsque le mobile s’éloigne de sa position d’équilibre ;
   - schéma n°2 : lorsque le mobile s’approche de sa position d’équilibre.
4. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse x du centre d’inertie G du mobile.
5. On suppose maintenant que les frottements exercés par l’air sont négligeables. Dans ce cas, l’équation différentielle du mouvement admet une solution de la forme x = X_m cos (2p t/T₀+j₀)
   - Donner l’expression littérale de la période propre T₀ en fonction des grandeurs caractéristiques de l’oscillateur. Calculer T₀.
   - Calculer les valeurs de X_m et de j₀ sachant que : x(t = 0) = x₀ = + 2,0 cm et v_x(t = 0) = v_0x = – 0,20 m.s^–1.
   

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corrigé

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projection sur l'axe horizontal : ( attention l'abscisse x est négative , solide à gauche de O) F_x = -kx

déplacement à droite, la vitesse a le sens de l'axe v>0 et f_x = -mv: -kx -mv = mx" avec v= dx/dt = x'

mx" +mx'+kx =0

déplacement à gauche, la vitesse a le sens contraire de l'axe v <0 et f_x = -mv : -kx -mv = mx" avec v= dx/dt = x'

mx" +mx'+kx =0.

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x = X_m cos (2p t/T₀+j₀)

période T₀ = 2p(m/k)^½= 2*3,14(0,1/10)^½ = 6,28 * 0,1 = 0,628 s.

l'énergie mécanique au moment du lâcher à t=0 est à la fois sous forme potentielle élastique et sous forme cinétique :

E=½kx²₀ + ½mv²₀ = 0,5*10*0,02²+0,5*0,1*0,2² = 4 10^-3 J

lorsque la vitesse est nulle, l'énergie mécanique est sous forme potentielle élastique ½kX²_m avec X_m, l'amplitude en mètre.

l'énergie mécanique se conserve ( absence de frottement) 4 10^-3 = ½kX²_m

X_m = (8 10^-3 / 10)^½ = 2,8 10^-2 m = 2,8 cm.

phase à t=0 :

x(t=0) = 0,02 = 0,028 cos j₀ soit cos j₀ = 2/2,8 = 0,714 soit j₀ =0,77 rad ou bien j₀ = -0,77 rad

vitesse , dériver x(t) par rapport au temps : x' = v = -X_m2p /T₀ sin (2p t/T₀+j₀)

vitesse à t=0 : -0,2 m/s soit 0,2 = X_m2p /T₀ sin j₀ ;

X_m2p /T₀ étant positif alors sin j₀ doit être positif et en conséquence j₀ = 0,77 rad.

 

mouvement d'un projectile (4 points)

Un jongleur lance une balle d’un point O, verticalement vers le haut, avec une vitesse v₀ . Le centre d’inertie G de la balle s’élève verticalement jusqu’au point A, situé à une hauteur h au dessus du point O, avant de redescendre. La balle, de masse m, est considérée comme ponctuelle et en mouvement de chute libre. Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen pendant la durée de l’étude, on choisit un axe (Oy) vertical et ascendant, ayant pour origine le point O de lancement. L’instant du lancement de la balle est choisi comme instant origine des dates. On note g la valeur du champ de pesanteur.

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la coordonnée v_y du vecteur vitesse v de la balle.
2. Résoudre analytiquement cette équation.
3. En déduire que le mouvement de la balle comporte bien une phase de montée et une phase de descente. Exprimer la date t₁ du changement de phase en fonction de v₀, valeur de la vitesse initiale, et de g.
4. Déterminer l’équation horaire y = f(t) du mouvement de la balle.
5. Exprimer la valeur v₀ de la vitesse en fonction de h et g.

réactions nucléaires (6 points)

Données : iode I ( Z=53) ; xénon Xe (Z=54) ; césium Cs (Z= 55) ; baryum Ba (Z= 56) ; lanthane La (Z=57)

La masse du noyau d’un élément X sera notée m_X . m_p = masse du proton ; m_n = masse du neutron

Un réacteur de centrale nucléaire fonctionne à l’uranium enrichi (3% d’uranium 235 fissile et 97% d’uranium 238 non fissile).

1. Le noyau d’uranium 235
   - Donner la composition du noyau d’uranium ²³⁵₉₂ U.
   - Donner l’expression du défaut de masse |Dm| de ce noyau en utilisant les notations définies précédemment.
   - Donner l’expression de l’énergie de liaison du noyau d’uranium ²³⁵₉₂ U. Préciser les unités.
2. Fission de l’uranium 235
   Par capture d’un neutron lent, un noyau d’uranium 235 subit une réaction de fission d’équation :
   ²³⁵₉₂ U + ¹₀n -->^x₅₄ Xe + ⁹⁴_y Sr + 3¹₀n
   - Calculer les valeurs de x et de y en précisant les lois de conservation utilisées.
   - Donner l’expression de l’énergie libérée par la fission d’un noyau d’uranium ²³⁵₉₂ U en utilisant les notations définies précédemment.
3. Désintégration du noyau de césium 137
   Les produits de fission sont radioactifs et se transmutent en d’autres produits, eux-mêmes radioactifs. Parmi ces déchets, on trouve le césium 137, radioactif ß^–, dont la demi-vie t_1/2 = 30 ans.
   - Écrire l’équation de la désintégration d’un noyau de césium 137, le noyau fils étant formé dans un état excité.
   - Quelle est la nature du rayonnement émis lors de la désexcitation du noyau fils ?
   - Définir la demi-vie d’un noyau radioactif.
   - À un instant choisi comme origine des dates, on dispose d’un échantillon de césium 137 de masse m₀. Donner l’expression littérale de la masse m de césium 137 restant à l’instant de date t en fonction de m₀ et de t_1/2 .
   - Montrer qu’à la date t = n t_1/2, la fraction de la masse initiale restante vaut : m/m₀ = 1/ 2ⁿ.
   - En déduire la durée approximative au bout de laquelle la masse restante de césium 137 est égale à 0,1% de sa masse initiale.

étude de deux acides (9 points)

On se propose de comparer, à partir de mesures pH-métriques, le comportement de deux acides : l’acide nitreux (HNO₂ ) et l’acide hypochloreux (HOCl).

1. Étude théorique préliminaire :
   On dispose d’un volume V d’une solution aqueuse d’un acide HA de concentration molaire en soluté apporté c. La transformation mettant en jeu la réaction de l’acide HA avec l’eau n’est pas totale.
   - Écrire l’équation de la réaction de HA avec l’eau.
   - Dresser le tableau descriptif de l’évolution du système chimique en utilisant les grandeurs V, c et x_éq , avancement dans l’état d’équilibre du système chimique.
   - Exprimer les concentrations molaires effectives des espèces chimiques présentes dans l’état d’équilibre en fonction de c et de la concentration molaire effective en ions oxonium à l’équilibre [H₃O⁺]_éq.
   - En déduire l’expression du quotient de réaction dans l’état d’équilibre Q_r,éq en fonction de [H₃O⁺]_éq et de la concentration molaire c.
   - Exprimer, en fonction de [H₃O⁺]_éq et de c, le taux d’avancement dans l’état d’équilibre.
2. Préparation d’une solution de concentration déterminée :
   On dispose du matériel suivant :
   • Béchers de 50 mL, 100 mL et 250 mL.
   • Éprouvettes graduées de 10 mL, 20 mL, 50 mL et 100 mL.
   • Fioles jaugées de 50 mL, 100 mL et 250 mL, volume délivré à 0,1 % près.
   • Pipette graduée de 10 mL à ± 0,1 mL.
   • Pipette jaugée de 10 mL à ± 0,05 mL.
   • Poire à pipeter.
   On veut préparer une solution S de l’acide HA de concentration molaire en soluté apporté c = 1,00 × 10^-3 mol.L^-1 à partir d’une solution mère S₀ de concentration molaire en soluté apporté c₀ = 1,00 × 10^-2 mol.L^-1.
   - Quelle est la verrerie à utiliser ? Justifier.
   - Décrire le protocole.
3. Étude expérimentale :
   On a effectué un ensemble de mesures de pH pour des solutions d’acide nitreux et d’acide hypochloreux de diverses concentrations molaires en soluté apporté à une température de 25°C. Le tableau ci-dessous donne les valeurs moyennes des résultats des mesures et une partie de leur exploitation.

   	c (mol/L)	pH	[H3O+]éq	Qr, éq	-log Qr, éq
   acide nitreux	0,001	3,3	5 10-4	5 10-4	3,3
   	0,005	2,87	1,4 10-3	5 10-4	3,3
   	0,01	2,7
   acide hypochloreux	0,001	5,15	7,1 10-6	5 10-8	7,3
   	0,005	4,8	1,6 10-5	5 10-8	7,3
   	0,01	4,65	2,2 10-5	5 10-8	7,3

   -Calculer les valeurs manquantes du tableau : présenter les calculs sous forme littérale avant d’effectuer les applications numériques.
   - Calculer, pour une même concentration molaire en soluté apporté c = 1,00 × 10^–3 mol.L^-1, les valeurs des taux d’avancement, dans l’état d’équilibre, de la réaction de chaque acide avec l’eau.
   - Comparer le comportement des deux acides en solution aqueuse.
   - Donner la définition de la constante d’acidité K_A d’un couple acide/base et en déduire son expression.
   - Expliquer comment les résultats de cette étude expérimentale permettent de trouver les valeurs respectives des pK_A des deux couples.

Cette partie comporte trois exercices. Chaque exercice comporte des affirmations indépendantes .Toute réponse doit être accompagnée de justifications ou de commentaires. A chaque affirmation, vous répondrez donc par VRAI ou FAUX, en justifiant à l’aide de définitions, de tableau d’avancement, de calculs, d’équations…

1. Conductimétrie : on prépare un volume V = 1,0 L de solution d’acide fluorhydrique par dissolution d’une quantité de matière n = 1,0 × 10^-3 mol de fluorure d’hydrogène HF dans l’eau. On mesure, à 25°C, la conductivité de la solution. La valeur obtenue est s= 22,3 × 10^-3 S.m^-1
   Données : conductivités molaires ioniques à 25°C en S.m² .mol^-1: l_H3O+ = 35 × 10^-3 ; l _F- = 5,5 × 10^-3
   - La transformation chimique est modélisée par l’équation de la réaction suivante :
   HF(aq) + H₂O(l) = H₂F⁺(aq) + OH^-(aq)
   - L’avancement final de la réaction est x_f = 0,55 mmol.
   - La constante de la réaction a pour expression K_A = x²_f / ((n-x_f)²V)
   - La valeur de la constante de réaction est K_A = 0,68
2. Cinétique de réaction : on suit par spectrophotométrie la cinétique de la réaction des ions iodure avec les ions peroxodisulfate qui conduit à la formation du diiode et d’ions sulfate. L’équation de la réaction est la suivante :
   S₂O₈^2-(aq) + 2I^-(aq) = I₂ (aq) + 2 SO₄^2-(aq)
   Les concentrations molaires et les volumes des solutions réactives introduites sont les suivants : [S₂O₈^2-] = C₁ = 0,50 mol/L ; V₁ = 10,0 mL ; [ I^- ] = C₂ = 0,020 mol/L ; V₂ = 10,0 mL
   On a obtenu la courbe ci-dessous donnant l’absorbance A du système chimique en fonction du temps t . On en a déduit la courbe donnant la concentration molaire en diiode en fonction du temps.

   Une solution de diiode jaune absorbe dans le bleu. Les ions de la solution sont incolores.
   - La longueur d’onde choisie pour le suivi spectrophotométrique correspond à une radiation jaune.
   - La loi de Beer-Lambert utilisée s’écrit A = e × l × [I₂] avec « l » épaisseur de la cuve, e le coefficient d’absorbance pour la longueur d’onde choisie. La valeur de « e × l » pour cette cinétique est environ égale à 0,42 L.mol^-1.
   - La transformation est totale.

3. Etude de la pile Plomb/Zinc : on réalise les demi-piles Zn²⁺(aq) / Zn(s) et Pb²⁺(aq) / Pb(s). Chaque demi-pile contient 100 mL de solution de concentration molaire en ions Zn²⁺ et Pb²⁺ égale à 1,00 mol.L^-1. Les électrodes en Zinc et en Plomb sont en très large excès. On considère la réaction Zn(s) + Pb²⁺(aq) = Zn²⁺(aq) + Pb(s) dont la constante d’équilibre a pour valeur K = 2 × 10⁺²¹
   - La valeur du quotient de réaction dans l’état initial est égale à 1.
   - Le système évolue dans le sens inverse de la transformation considérée.
   - Lorsque l’équilibre est atteint, [Pb²⁺] = 0 mol.L^-1.
   - La lame de zinc constitue l’électrode positive de la pile.
   - La lame de plomb est le siège d’une oxydation.
   - La masse de plomb maximale formée est 0,207 g.
   - La pile en fonctionnement est un système en équilibre.

Données : M (Zn ) = 65,4 g.mol^-1 M ( Pb ) = 207 g.mol^-1