L'installation schématisée ci-dessous comporte un compresseur, un détendeur et deux serpentins qui sont siège des échanges thermiques.

La température du sous sol est 10°C. Le fluide caloporteur est de l'air assimilé à un gaz parfait. On étudie les transformations réversibles d'1 kg d'air décrivant le cycle suivant :

1-2 : dans le compresseur, la compression est adiabatique et la pression passe de P₁= 4 10⁵ Pa à P₂ = 15 10⁵ Pa. La température passe de T₁=283 K à T₂.

2-3 : Dans le serpentin, au contact du circuit de chauffage, le refroidissement est isobare et la température passe de T₂ à T₃=323 K.

3-4 : Dans le détendeur, la détente est adiabatique, la pression passant de P₃=P₂ à P₄=P₁, la température passant de T₃ à T₄.

4-1 : Dans le serpentin enterré dans le sol, le réchauffement est isobare, la température augmentant jusqu'à la température T₁.

lors d'une transformation adiabatique réversible : PV^g=Cte ; P^1-g T^g=Cte ; V^g-1T=Cte.

Qté de chaleur échangée par un fluide passant de la température T₁ à T₂ au cours d'une transformation isobare :

Q=mC_p(T₂-T₁).

Efficacité théorique d'une machine théorique : e= |Q_c/W| ou e= |Q_f/W| selon la machine

R= 8,31 J K^-1mol^-1 ; g= 1,4 C_{p air} = 1000 J K^-1kg^-1.

1. Montrer que T₂=413 K et que T₄=221 K.
2. Calculer les quantités de chaleur Q₁₂, Q₂₃, Q₃₄ et Q₄₁ échangées par une masse d'air de 1 kg au cours de chaque transformation.
3. Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un cycle. En déduire le travail reçu par la masse de 1 kg d'air au cours du cycle.
4. On désigne par e l'efficacité théorique de la pompe à chaleur au cours du cycle. Calculer e.
   - Sachant que les pertes moyennes thermiques de la maison sont de 13 kW et que la puissance utile du compresseur est 10 kW, calculer le temps de fonctionnement de la pompe au cours de la journée.

Un capteur électronique permet d'obtenir une tension u₁ = 0,1 q₃ dans laquelle q₃ est la température de l'échangeur exprimée en °C tendis que la tension u₁ est exprimée en volts. Le but de la régulation est de maintenir cette température q₃ entre 45°C et 55 °C. On utilise le montage suivant :

L'amplificateur opérationnel est idéal ; les tensions de saturation sont +14V et -14 V. R₁ = 1 kW et R₂ = 27 kW. u₂ est une source de tension réglable dont la valeur est fixée à 5,19 V.

1. Montrer que la tension u⁺ de l'entrée non inverseuse est : 1/(R₁ +R₂) [R₁u_s+R₂u₂]
   - Faire l'application numérique dans le cas où u_s= +14 V
   - Faire l'application numérique dans le cas où u_s= -14 V
2. Etude du démarrage : la température de l'échangeur est 20°C.
   - Quelles sont les valeurs de u₁ et u_s ?
   - A la mise sous tension la pompe à chaleur se met en marche. Comment évolue la température q₃ ? Comment évolue u₁ ?
3. Etude du fonctionnement : que se passe-t-il lorsque la température q₃ atteint 55 °C Que devient la tension u_s ? Quel doit être le rôle de la tension u_s sur la pompe ?
   - La température se met alors à chuter. Pour quelle valeur de u₁ la pompe se remet-elle en marche ? Quelle est alors la température de l'échangeur ?
   - Faire la représentation graphique u_s en fonction de q₃.

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corrigé

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u₂+R₁i=u⁺ soit i = (u⁺ -u₂)/R₁

u⁺ +R₂i =u_s soit i = ( u_s-u⁺)/R₂

(u⁺ -u₂)R₂=( u_s-u⁺)R₁

R₂u⁺-u₂R₂=u_sR₁-u⁺R₁

u⁺=1/(R₁ +R₂) [R₁u_s+R₂u₂]
u⁺=1/(10³(1+27)[u_s+27*5,19]10³ =[u_s+140,13] / 28= u_s/28 +5

si u_s = +14 V alors u⁺= 5,5 V et u_s = -14 V alors u⁺= 4,5 V

la température de l'échangeur est 20°C.
u₁ = 0,1*20 = 2 V en conséquence u⁺ = 2 = u_s/28 +5 et u_s =(2-5) *28=-84 V.

valeur impossible pour u_s qui ne peut être inférieure à -14 V.

A la mise sous tension la pompe à chaleur se met en marche q₃ évolue de 20°C à 55°C et u₁évolue de 2 V à 5,5 V.

u_s atteint alors la valeur +14 V et doit couper l'alimentation électrique de la pompe.

La température q₃ se met alors à chuter. Dès que u₁ atteint la valeur 4,5 V ( u_s= -14 V) la pompe se remet en marche.La température de l'échangeur vaut alors 45°C.

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Chimie : on se propose de déterminer l'alcanalité d'une eau industrielle. Pour ceci on réalise un dosage pH-métrique de 50 mL d'eau par une solution d'acide chlorhydrique telle que [H₃O⁺]=0,1 mol/L. L'alcanalité est due uniquement à l'ion HCO₃^-.

1. Déterminer graphiquement les coordonnées du point équivalent et le pKa du couple acide base concerné. On rappelle que pKa = pH à la demi-neutralisation.
2. Ecrire la réaction de dosage puis déterminer [HCO₃^-] en mol/L et en g/L.
3. Le titre alcalimétrique complet (TAC) d'une eau s'exprimant par le même nombre que le volume exprimé en mL d'une solution acide telle que [H₃O⁺]=0,02 mol/L nécessaire pour doser 100 mL d'eau, déterminer le TAC de l'eau étudiée.

masse atomique molaire (g/mol) H : 1 ; C : 12 ; O : 16.

couples acide base H₃O⁺ / H₂O ; H₂O / HO^- ; H₂O , CO₂/HCO₃^-

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corrigé

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HCO₃^- + H₃O⁺ = CO₂ + 2H₂O

à l'équivalence C_aV_a= C_bV_b soit C_b= C_aV_a /V_b = 0,1*13/50=0,026 mol/L

masse molaire HCO₃^- : 1+12+3*16 =61 g/mol

0,026*61 = 1,586 g/L

pour doser 100 mL de cette eau avec un acide de concentration 0,02 mol/L il faudrait un volume d'acide égal à :

100*0,026/0,02 = 130 mL.