Un explosimètre a pour but d’estimer le danger d’explosivité d’une atmosphère polluée en gaz inflammable. On provoque dans une enceinte calorifugée contenant un volume donné d’un échantillon de l’atmosphère à analyser l’oxydation catalytique du gaz. L’élévation de température Dq qui en résulte est mesurée à partir de la variation de résistance électrique de l’élément détecteur R_D placé dans un pont de Wheatstone (circuitCADB) selon la figure 1 ci-dessous :

On procède à l’équilibrage du pont en présence d’air pur à 20,0 °C.

1. Établir la relation liant alors R₁, R₂, R₃ et R_D quand le pont est équilibré (c'est à dire lorsque U_AB =0). Que devient cette relation si R₂ = R₃ = R ? (on gardera cette égalité dans le reste du problème)
2. En présence d’atmosphère polluée, la température de l’élément détecteur varie, sa résistance devient R_D + DR. Montrer que la tension de déséquilibre U_AB du pont peut alors se mettre sous la forme :
3. Montrer que si DR est négligeable devant R, U_AB est proportionnelle à DR.
4. L’élément détecteur est un filament métallique dont la résistance est une fonction affine de la température q exprimée en °C : R_D = R₀(1 + aq ) Montrer que U_AB est proportionnelle à la variation de température Dq.
5. Application numérique : R = 100 W ; Dq = 20,0 °C; a = 1,05 10^-3 °C^-1 ; R₀ = 13,4 W ; E = 15,0 V
   Calculer DR et vérifier que D R est bien négligeable devant R. En déduire la valeur de U_AB.
6. L’explosimètre doit fonctionner pour des atmosphères susceptibles de contenir les combustibles les plus courants. Il est cependant étalonné de telle façon que la tension U_AB de 100 mV soit obtenue lorsqu’on atteint la limite inférieure d’explosivité (LIE) du méthane. La figure 2 donne les quantités de chaleur dégagée par l’oxydation d’un même volume d’atmosphère polluée en fonction du % de LIE (rapport du pourcentage volumique de combustible dans l’air sur la LIE) pour plusieurs combustibles susceptibles de constituer l’atmosphère (il y a risque d’explosion quand on a 100 % de LIE de l’un des gaz).

    

7. L'oxydation catalytique des combustibles présents dans l'atmosphère étudiée produit une quantité de chaleur Q. Exprimer la quantité de chaleur Q dégagée par l’oxydation catalytique en fonction de Dq et de la capacité thermique C de l’enceinte calorifugée de détection et de ses accessoires. En déduire qu’elle est proportionnelle à U_AB.
   - À partir de quelle valeur de U_AB l’explosimètre doit-il signaler un danger potentiel s'il est utilisé avec la propanone

1. Un prisme a une section principale en forme de triangle isocèle. Il est en verre d'indice n=1,52 et se trouve dans l'air d'indice n_a.

   Indiquer dans les cas suivants le trajet du rayon lumineux au dela de I :
   - le milieu ambiant est l'air n_a=1.
   - le milieu ambiant est l'eau n_e= 1,33.

2. Une fibre optique à sauts d'indice est constituée :
   - D'un coeur, de rayon a et d'indice de réfraction n_c.
   - D'une gaine de rayon b et d'indice de réfraction n_g.
   La fibre est placée dans l'air.

   - Indiquer la condition à laquelle doit satisfaire l'angle i pour que le rayon soit totalement réfléchie en J.
   - En déduire que l'angle q doit rester inférieur à une valeur limite q ₁. Montrer que la relation suivante est vérifiée :
   sin²q ₁=n_c²-n_g².
   - Calculer q ₁ si n_c=1,5 et n_g= 0,99 n_c.

3. Deux fibres optiques semblables à celle de la question ci-dessus sont aboutées à la base BC du prisme de la question 1. La fibre 1 conduit la lumière d'une source lumineuse jusqu'au prisme. La fibre 2 conduit la lumière qui sort du prisme jusqu'à un détecteur. La distance entre les axes des deux fibres est e= 10 mm. CD= 0,25 BC.
   Le dispositif est progressivement enfoncé dans un liquide d'indice n_a=1,33 situé dans une cuve.

- Préciser sur un schéma le trajet du rayon lumineux après le point I tant que le niveau du liquide n'atteint pas le point I.
- Expliquer ce qui se passe lorsque le niveau du liquide atteint le point I.
- Calculer la profondeur à laquelle est enfoncé le prime dans le liquide lorsque le niveau du liquide atteint le point I.
- Indiquer une utilisation possible d'un tel dispositif.

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corrigé

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calcul de l'angle limite d'incidence au delà duquel il y a réflexion totale :

interface verre-air : 1,52 sin i_1lim= 1 soit sin i_1lim=1/1,52 = 0,658 ; i_1lim=41,1°

or l'angle d'incidence i₁=45 °, valeur supérieure à 41,1 °donc il y a réflexion totale en I.

interface verre-eau : 1,52 sin i_1lim= 1,33 soit sin i_1lim=1,33/1,52 = 0,875 ; i_1lim=61,1°

or l'angle d'incidence i₁=45 °,valeur inférieure à 61°, donc le rayon réfracté ( transmis dans l'eau) existe en I

calcul de i₂ : 1,52 sin 45 = 1,33 sin i₂ ; sin i₂ =0,808 ; i₂ =53,9°

calcul de l'angle limite d'incidence au delà duquel il y a réflexion totale en J

interface coeur-gaine: n_c sin i_lim= n_g soit sin i_lim= n_g/n_c = 0,99 ; i_lim=81,89°

si i<i_lim il y a réflexion totale en J.

en O, interface air-coeur : sin q₁ = n_c sin a_lim avec a_lim + i_lim= 90° donc sin a_lim = cos i_lim

cos² i_lim = 1-sin² i_lim= 1-(n_g/n_c)².

sin ² q₁ = n_c² sin² a_lim d'où sin ² q₁ = n_c² [1-(n_g/n_c)²] ; sin ² q₁ = n_c² -n_g².

sin ² q₁ = n_c² [1-0,99²]=0,0199 n_c² ; prendre la racine carrée

sin q₁ =0,141 n_c = 0,141*1,5 = 0,2116 ; q₁ =12,21°.

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Lorsque le liquide atteint le point I, le faisceau incident se partage en deux parties : un rayon réfléchi ( figure ci-dessus) et un rayon transmis dans le liquide (eau). Le détecteur situé à l'extrémité de la fibre 2 reçoit donc beaucoup moins d'énergie lumineuse que dans le cas de la réflexion totale.

profondeur à laquelle est enfoncé le prisme dans l'eau : x= 0,25 BC

0,5 BC=e=10 mm ; x= 5 mm.

Un tel dispositif permet de déclencher une alerte lorsque la montée d'un liquide atteint un niveau qui peut devenir dangereux.

ou bien dans le cas de descente du liquide, indiquer le volume minimale de liquide à partir duquel il faut remplir la cuve.

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La fibre optique étudiée ici peut être considérée comme constituée par un coeur cylindrique en matériau très transparent, le silicium, d'indice de réfraction n₁ = 1,454, entouré d'une gaine concentrique au coeur, en silicium dopé, transparente elle aussi, d'indice de réfraction n₂ = 1,460 . Un revêtement plastique protège l'ensemble.

Un rayon R, injecté en 0 dans le coeur de la fibre, demeure prisonnier du coeur si son angle d'incidence i est bien choisi. on note r l'angle sortant du coeur de la gaine ( i,r) et on note r' l'angle incident à l'interface coeur gaine ( r + r'= 90 degrés)

1. Quel est le nom du phénomène qui doit se produire à l'interface coeur-gaine si on veut que R demeure dans le coeur de la fibre ?
2. A quelle relation l'angle r' doit-il alors satisfaire ? Application numérique : calculer la valeur limite de r' convenant.
3. Ecrire, en les justifiant, les relations liant les angles r et r' d'une part, i et r d'autre part. On notera n_a, l'indice de réfraction de l'air. En déduire que R reste dans le coeur de la fibre, si : n_a sin i < (n₂² - n₁²)^½. Application numérique : Calculer l'angle d'injection maximum i_m. On donne : n_a = 1,000.
4. La fibre est légèrement absorbante. La puissance absorbée par une tranche de longueur dx de fibre est proportionnelle à l'épaisseur dx de cette tranche et à la puissance P(x) du faisceau à l'entrée de celle-ci . On peut donc écrire : dP = aP(x).dx avec a qui est une constante caractéristique de la fibre pour la longueur d'onde utilisée.
   - Démontrer que le produit 10.Lg(P(0) / P(x ))est proportionnel à x, distance parcourue par le faisceau dans le coeur de la fibre. On notera A le coefficient de proportionnalité ?
   - le produit 10.Lg(P(0)/P(x)) s'exprime en "décibels" (dB). Le constructeur de la fibre indique pour celle-ci un coefficient d'atténuation b = 0,4 dB/km. Quelle est la puissance du faisceau lumineux après un parcours de 100 km à l'intérieur de la fibre ? La puissance injectée à l'entrée de la fibre est P(0) = 10^-6 Watt et on néglige les pertes à l'entrée et à la sortie de la fibre.