Aurélie jan 04

piscine - éclairage - produit détartrant - solutions aqueuses - chaleur - mécanique des fluides

d'après BTS bâtiment 2002 - 2003




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étude d'une piscine

On désire construire une piscine couverte de longueur L=25 m, de largeur l=10 m et de profondeur utile ( hauteur d'eau) H=4,5 m. Le bâtiment qui l'abrite doit permettre d'avoir 5 m de plage sur tous les côtés de la piscine.

reau = 1000 kg m-3 ; g= 10 m/s² ; pression atmosphérique p0=105 Pa.

  1. Quelle est la résultante F des forces pressantes exercées sur le fond de la piscine et dues à l'action de l'eau lorsque la piscine est remplie ?
  2. Calculer :
    - La résultante des forces pressantes F1 exercées sur chaque petite paroi verticale de cette piscine et dues à l'action de l'eau.
    -La résultante des forces pressantes F2 exercées sur chaque grande paroi verticale de cette piscine et dues à l'action de l'eau.
    - La position du point d'application de chacune de ces résultantes par rapport au fond de la piscine et aux parois latérales.
  3. Au fond de la piscine l'eau est aspirée au travers d'un orifice appelé bonde par une pompe située dans le local technique. cette circulation permet le recyclage de l'eau. Le diamètre de l'orifice est D= 0,12 m. Le débit moyen de la pompe est Qv= 50 L/s.
    - Calculer la vitesse d'aspiration v de l'eau au niveau de l'orifice.
    - En déduire la valeur de la pression p de l'eau au niveau de l'orifice
  4. Sachant que la totalité de l'eau contenue dans la piscine doit être recyclée en 8 heures au maximum, le débit assuré par la pompe est-il convenable ?

     


corrigé
pression exercée par l'eau au fond de la piscine :

p=reau gH= 1000*10*4,5 =4,5 104Pa

surface du fond : S= 25*10 = 250 m²

force pressante exercée par l'eau sur le fond : F= p S= 4,5 104 *250=1,12 107 N.

résultante des forces pressantes F1 exercées sur chaque petite paroi verticale :

pression à mi-hauteur d'eau : H1=4,5/2 = 2,25 m

p1=reau gH1= 1000*10*2,25 =2,25 104Pa

surface de la petite paroi verticale : S1 = 10*4,5 = 45 m²

F1 = p1 S1 =2,25 104 *45 = 106 N.

résultante des forces pressantes F2 exercées sur chaque grande paroi verticale :

pression à mi-hauteur d'eau : H2=4,5/2 = 2,25 m

p2=reau gH2= 1000*10*2,25 =2,25 104Pa

surface de la grande paroi verticale : S2 = 25*4,5 = 112,5 m²

F2 = p2 S2 =2,25 104 *112,5 = 2,53 106 N.

la résultante des forces F1 ( de même pour F2 ) s'appliquent en un point situé à égale distance des bords et au tiers de la hauteur à partir du fond.


Qv(m3/s)= section (m²) * vitesse (m/s)

section bonde =3,14*0,06²= 1,13 10-2 m² ; débit : 0,05 m3/s

vitesse : 0,05 / 1,13 10-2 = 4,42 m/s.

pression au niveau de la bonde

appliquer le théorème de Bernoulli entre la bonde ( notée B) et la surface libre (notée A)

La vitesse est quasiment nulle en A car la surface libre est très supérieure à la section de la bonde; pA=105 Pa ( pression atmosphérique

½rvA²+pA+rgzArvB²+pB+rgzB

pB= pA+rg(zA-zB ) +½r(vA²-vB²)

pB= 105 + 1000*10*4,5 +0,5*1000*(-4,42²)

pB= 105 + 4,5 104-9768=1,35 105 Pa.


volume de la piscine : 25*10*4,5 =1125 m3.

durée de la vidange : 8*3600 = 28800 s

débit volumique : 1125/28800=0,039 m3/s=39 L/s.

le débit de la pompe (50 L/s) est convenable.





éclairage de la piscine

On place à la verticale de chacun des grands bords du bassin et à 2,5 m des angles, quatre lampes permettant d'éclairer le bâtiment. Elles sont situées à une hauteur H=8 m au dessus du sol. L'intensité lumineuse due à chaque lampe est, suivant la verticale I0 = 7000 cd. Dans une direction faisant un angle a avec la verticale, l'intensité lumineuse due à chaque lampe est donnée par la relation I=I0 cosa.

  1. On considère l'éclairement dû à une seule lampe :
    - Déterminer l'expression de l'éclairement E0 à la verticale de la lampe. Le calculer.
    - Déterminer l'expression de l'éclairement EA en un point A situé au sol à la distance x de la verticale de la lampe. Le calculer si x =11,2 m.
    - Vérifier que le centre de la piscine est situé à 11,2 m du pied de chaque lampe ; quel est l'éclairement EC au centre de la piscine dû aux quatre lampes.
    - Sachant que le flux lumineux total F émis par cette lampe est donné par l'expression F =pI0 et que son efficacité lumineuse est k=  27,5 lm W-1, déterminer la puissance P de chaque lampe.

corrigé
E éclairement d'une surface exprimé en lux (lx) ou flux énergétique reçu par unité de surface

éclairement E0 à la verticale de la lampe = I0 / H² = 7000/8² = 109,4 lx.

éclairement EA :

Connaissant l'intensité lumineuse I (cd) et distance d (m) d’un luminaire à la surface éclairée, on peut calculer l'éclairement en divisant l'intensité lumineuse I par le carré de la distance d (en mètres).

d'une part l'intensité lumineuse diminue I = I0 cosa

d'autre part la distance devient d= H/cos a

E = I/d² = I0 cos3a / H² =E0 cos3a avec tan a = x/H = 11,2 /8=1,4 et cos a = 0,581

E= 109,4*0,5813=21,5 lx.

OA = 0,5 racine carrée (20²+10²)= 0,5 *racine carrée 500 = 11,2 m.

éclairement au centre de la piscine du aux 4 lampes : 4*21,5 = 86 lx.

flux F =pI0 =3,14*7000 = 21980 lm

efficacité lumineuse k=  27,5 lm W-1

puissance d'une lampe :P= 21980 / 27,5 = 800 W.



produit détartrant

 Une solution de détartrant concentré utilisé pour l'entretien de la piscine a un pH=1,8. En utilisation normale ce produit doit être dilué.

  1. Définir le pH d'une solution.
  2. Ce détartrant est-il acide ou basique ?
  3. On suppose qu'il est entierement dissocié. Quelle est sa concentration C ?
  4. Pour l'utiliser on dilue 1 L de ce produit dans 24 L d'eau ; on obtient une solution de concentration C1. Déterminer C1 ainsi que le pH de la solution diluée.
  5. Pour vérifier la valeur de C1, on prélève un volume V1=20 mL de la solution diluée qu'on dose par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration C2= 10-3 mol/L. Le volume d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence est V2= 12,9 mL. Quel est la valeur de C1 déduite de ce dosage ? Conclure.

corrigé
pH= - log [H3O+], la concentration en ion oxonium s'exprime en mol/L.

pH =1,8 donc le détartrant est acide.

acide entierement dissocié donc c= 10-pH= 10-1,8 = 1,58 10-2 mol/L.

le facteur de dilution est 24/1 = 24

la solution diluée est 24 fois moins concentrée que le détartrant : C1 = 1,58 10-2 / 24 =6,58 10-4 mol/L.

pH= -log C1 = -log 6,58 10-4 = 3,18.

équation du dosage : HO-+H3O+ --> 2H2O

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en proportions stoechiomètriques

C1V1 =C2V2 soit C1=C2V2 /V1=10-3*12,9/20=6,45 10-4 mol/L.

accord avec le résultat précédent.





chimie des solutions aqueuses :

produit ionique de l'eau à 25 °C : Ke = 10-14

masses molaires en g/mol :H=1 ; O=16 ; Na=23 ; Cl=35,5 ; S=32,1.

Les effluents liquides d'un laboratoire atteignent une épaisseur de 0,8 m dans un bassin de récupération de longueur 1,6 m et de largeur 1,1 m. Une mesure du pH de la solution réalisée à l'aide d'un papier indicateur de pH donne la valeur 2.

  1. Ce laboratoire emploie de l'acide chlorhydrique. La solution contient au moins trois types d'ions
    - Un ion est responsable de l'acidité de la solution. Donner son nom, sa formule et sa concentration molaire. En déduire la quantité de matière (mol) de cet ion dans le bassin.
    - Un ion l'acompagne dans toute solution aqueuse. Montrer que sa concentration est très faible dans le cas présent.
    - Un troisième ion est présent en grande quantié. Lequel ?
  2. Avant pompage on veut neutraliser l'acidité de la solution par addition d'hydroxyde de sodium. Ecrire l'équation bilan de la réaction de neutralisation. En déduire la quantité (mol) d'ion hydroxyde nécessaire.
  3. Les résultats obtenus à partir d'une mesure de pH étant trop approximatifs, on dose un échantillon de 10 mL de la solution du bassin par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration cb=0,01 mol/L. L'équivalence est obtenue quand on a versé Vb= 12,6 mL de solution basique.
    - Calculer la concentration molaire en acide cA et le pH théorique de la solution du bassin.
    - Déduire de ce dosage la quantité puis la masse d'hydroxyde de sodium nécessaire pour neutraliser tout l'acide du bassin.

 


corrigé
l'ion oxonium H3O+ est responsable de l'acidité. [H3O+]=10-pH= 10-2 mol/L

l'ion hydroxyde HO- est minoritaire en milieu acide :[HO-]=10-14/10-2=10-12 mol/L

la solution d'acide chlorhydrique est électriquement neutre donc [Cl-]=[H3O+]=10-2 mol/L ( ion chlorure)

équation de la réaction de dosage : H3O+ +HO- = 2H2O

Qté de matière d'acide (mol) = volume (L) * concentration (mol/L)

volume = 1,6*1,1*0,8 =1,408 m3 = 1408 L

1408*0,02 = 14,08 mol d'acide donc 14,08 mol ion hydroxyde.

A l'équivalence les quantités de matière d'acide et de base sont en proportions stoechiométriques

CaVa= CbVb d'où Ca =0,01*12,6/10 =0,0126 mol/L

pHthéorique = -log0,0126 = 1,9.

Qte de matière d'acide dans le bassin : 0,0126*1408 =17,74 mol

Qté de matière hydroxyde de sodium : 17,74 mol

masse molaire hydroxyde de sodium NaOH : 23+1+16 = 40 g/mol

masse de soude nécessaire : 40*17,74 = 709 g.



Chaleur

  1. A partir de la formule définissant l'énergie cinétique Ec=½mv² exprimer la dimension d'une énergie en fonction des grandeurs fondamentales : longueur L, masse M et temps T
    -Quelles sont les dimensions d'une puissance thermique et d'un débit volumique ?
  2. L'air et les parois d'un local( mur, plafonds et sol) sont à la température de 0°C. Calculer
    - La quantité de chaleur Qa nécessaire pour porter à 20°C la température de l'air du local
    - La quantité de chaleur Qb nécessaire pour porter à 10 °C la température des parois en béton. Conclure.
    Données : dimensions intérieurs du local en mètres : L=11 ; l= 7 ; h=3.
    épaisseur du béton des murs, sol et plafond :e= 20 cm.
    masse volumique rair = 1,25 kg m-3 ; béton : r béton = 2300 kg m-3 ;
    capacité thermique massique cair = 1000 Jkg-1K-1 ; cbéton = 800 Jkg-1K-1.
  3. L'air intérieur du local précédent est maintenu à la température qi=20°C, la température de l'air extérieur étant q e=0°C La conductivité thermique du béton est l=1,1 Wm-1 K-1. Les résistances superficielles intérieure et extérieure sont 1/hi=0,11 W-1m²K et 1/he= 0,06 W-1m²K.
    - Citer les trois modes de propagation de la chaleur.
    - Exprimer en fonction de e, l, hi et he la résistance thermique surfacique R d'une paroi de béton. Calculer sa valeur.
    - Calculer le flux thermique surfacique passant à travers la paroi de béton.
    - Calculer la puissance thermique ( ou flux total) perdue au travers les 4 murs du local ( on ne tient pas compte du sol, du plafond et des ouvertures).
  4. Dans un radiateur, l'eau entre à la température de 70°C et en ressort à 40°C avec un débit massique qm=0,02 kg/s.
    - Calculer la puissance thermique transférée par ce radiateur sachant que la capacitée thermique massique de l'eau est c= 4,18 kJ kg-1 K-1.
    - Combien de radiateurs munis de robinets thermostatiques faut-il prévoir pour le local étudié précédemment.

corrigé
Ec=½mv²

masse : [M] ; vitesse au carré : [L]² [T]-2 ; énergie [M] [L]² [T]-2

puissance = énergie (J) / durée (s) soit : [M] [L]² [T]-3

débit volumique : volume(m3) / durée (s) soit [L]3[T]-1.

volume local V=11*7*3=231 m3.

quantité de chaleur Qa = cair V rair (20-0)=1000*231*1,25*20=5,77 106 J.

volume paroi béton : Vb=(11+11+7+7)*3*0,2=21,6 m3.

quantité de chaleur Qb = cbéton Vb rbéton (10-0)=800*21,6*2300*10=3,97 108 J.

100 fois plus grande que la valeur précédente. Qa négligeable devant Qb.


conduction, convexion et rayonnement

résiqstance surfacique : R= e/l+1/hi+1/he= 0,2 / 1,1 + 0,11+0,06=0,352 W-1m²K.

coefficient de transfert K= 1/R = 1/0,352 = 2,84 W m-2 K-1.

flux thermique surfacique : F= K(qchaud-qfroid)=2,84 *(20-0)=56,84 Wm-2.

surface totale des parois : (11+11+7+7)*3=108 m²

puissance thermique : 56,84*108= 6138 W.


puissance thermique transférée par un radiateur :

débit massique * capacité thermique de l'eau * différence température

0,02*4180*(70-40)=2508 W.

il faut donc prévoir trois radiateurs pour compenser les pertes thermiques.



Mécanique des fluides

Dans une installation de chauffage central l'eau sort de la chaudière avec un débit volumique qv=18 L/min, à une pression p=5 105 Pa, dans un tuyau de diamètre intérieur D= 20 mm. Les radiateurs sont branchés en dérivation. Le diamètre intérieur du tuyau qui les parcourt est d =5 mm. On considère l'eau comme un fluide parfait de masse volumique reau=1000 kgm-3. g= 10 m/s².

  1. Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de la chaudière.
  2. Calculer la vitesse et la pression de l'eau en un point d'un radiateur situé à 3 m d'altitude au dessus de la chaudière dans les cas suivants :
    - un seul radiateur est ouvert.
    - deux radiateurs sont ouverts.
    On rappelle l'équation de Bernoulli ½rv²+p+rgz= constante.

 


corrigé
section du tuyau de sortie de la chaudière : S= 3,14 10-4 m².

débit volumique (m3/s)= section (m²) fois vitesse (m/s)

débit : 18 10-3 / 60 = 310-4 m3/s.

v= 310-4 / 3,14 10-4 =0,955 m/s.

le débit volumique reste constant.

un seul radiateur ouvert : section 3,14 *(2,5 10-3)²= 1,96 10-5 m².

vitesse : 310-4 /1,96 10-5 = 15,3 m/s.

deux radiateurs ouverts : section 2* 1,96 10-5 = 3,92 10-5 m².

vitesse : 310-4 /3,92 10-5 = 7,65 m/s.

pression :

appliquer le théorème de Bernoulli entre la sortie de la chaudière ( notée A) et le radiateur (noté B)

½rvA²+pA+rgzArvB²+pB+rgzB

pB= pA+rg(zA-zB ) +½r(vA²-vB²)

un seul radiateur : pB= 5 105 + 104(-3)+500 ( 0,955²- 15,3²)=3,53 105 Pa.

deux radiateurs : pB= 5 105 + 104(-3)+500 ( 0,955²- 7,65²)=4,41 105 Pa.



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