Solide sur un plan incliné, chute libre, concours kiné Berck 2013.

Un solide ponctuel S de masse M est abandonné sans vitesse initiale d'un point P situé au sommet du plan incliné PO. Le solide glisse suivant la ligne de plus grande pente du plan. Le solide est soumis à une force de frottement  de valeur constante f. On notera l = PO la distance parcourue par le solide sur le plan incliné. Le solide quitte le plan en O et effectue un mouvement aérien. La réception du solide a lieu sur un second plan incliné BC. Le point B est situé à la verticale de O. Le point de contact du solide avec le plan BC est noté I. On négligera l'action de l'air sur le solide pendant toutes les phases du mouvement. Le solide sera considéré en chute libre durant la phase aérienne du mouvement. a = 35° ; ß = 40° ; M = 450 g ; f = 1,2 N ; L = 2,0 m ; yB =1,4 m. Donner l'expression de l'accélération "a" du solide sur le plan PO en fonction de g, a, f et M. Projeter la deuxième loi de Newton sur l'axe PO : . Calculer la valeur v0 de la vitesse du solide en O. Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre P et O. Travail moteur du poids en escente : Mg Lsin a. Travail résistant frd frottement : -f L. R perpendiculaire au plan ne travaille pas. Par suite ½Mv02 -0 = Mg Lsin a - f L ; v02  = 2 L(g sin a-f/M). v0 =[2 L(g sin a-f/M)]½ =[4 (9,8 sin 35 -1,2 / 0,45)]½ =3,4376 ~3,4 m/s. Etablir l'expression de la trajecctoire de S lors de la phase aérienne dans le repère donné. En chute libre, l'accélération est  : ay = g ; ax = 0. Composantes de la vitesse initiale en O : vx0 = v0 cos a ; vy0 = v0 sin a. La vitesse est une primitive de l'accélération. vx = v0 cos a ; vy = gt+v0 sin a. La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine du repère. x = v0 cos a t ;  y = ½gt2+v0 sin a t. t = x /( v0 cos a ), repport dans y : y = ½gx2/(v0 cos a)2+x tan a. Calculer les coordonnées du point d'impact I. Equation du segment BC  : y = tan ß x + yB. Au point d'impact : ½gx2/(v0 cos a)2+x tan a = tan ß x + yB. 4,9 x2/(3,4376* cos 35)2+x tan 35 = tan 40 x + 1,4. 0,618 x2 +0,700 x = 0,839 x +1,4. x2 -0,225 x -2,265 =0. D =0,2252 +4*2,265 =9,11 ; D½ = 3,018. On ne retient que la solution positive : xI =(0,225 +3,018) / 2 = 1,6215 ~ 1,6 m. yI =1,625 tan 40 +1,4 =2,764 ~2,7 m. En déduire la distance BI. BI =(xI2 +(yI-yB)2)½ =(1,62152 +(2,764-1,4)2)½ =2,1 m.

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