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Le
Jokari est un jeu où l'on frappe une balle en caoutchouc avec une
raquette en bois. La balle est reliée à un socle par un élastique de
masse négligeable. L'élastique ne produit aucun effet lorsque sa
longueur est inférieure à sa longueur à vide L0.
Quand
l'élastique est tendu il se comporte comme un ressort de raideur k,
permettant ainsi à la balle de revenir. Le socle est fixé au sol en un
point O pris comme origine. L'étude du mouvement s'effectue dans le
référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen. On donne g =
9,80 m s-2.
Mouvement
sans dissipation.
Dans cette partie il n'y a aucun frottement à faire intervenir.
A l'instant initial, on lance la balle avec ue vitesse v0
suivant l'axe Oz ascendant depuis une hauteur h = 1 m ( h <L0).
Quelle
doit être la vitesse minimale vmin au départ
pour que l'élastique se tende ?
L'altitude de la
balle doit être égale à L0 lorsque la vitesse de
la balle s'annule.
Energie mécanique initiale de la balle : ½mv2min
+ mgh.
Energie mécanique finale : mgL0.
Conservation de l'énergie mécanique : ½mv2min
+ mgh = mgL0.
v2min
=2g(L0-h) ; vmin = (2g(L0-h))½.
Dans l'hypothèse où v0 < vmin,
donner
l'expression de lavitesse vz(t) à un
instant t.
La balle est en
chute libre verticale : vz(t) = -gt + v0.
On posera t2
= v02/g2
+2h/g.
En
déduire la fonction z(t). Préciser les expressions de la itesse vs
et de l'instant ts quand la balle touche le sol.
z(t) = -½gt2 + v0t + h.
Au sol, l'énergie mécanique est sous forme cinétique : ½mvs2
;
La conservation de l'énergie mécanique conduit à : ½mvs2
=½mv20
+ mgh.
vs2
= v20
+2gh ; vs2
= g2(v20
/ g2 +2h / g ) = g2
t2
; vs =g t.
vs(t)
= -gts + v0 ; ts
= (v0
- vs(t)
) / g = v0/g - t.
Exprimer
z en fonction de g, v0, vz
et h.
t = ( v0
- vz) / g ; z = -½ ( v0
- vz)2 / g + v0( v0
- vz) / g + h.
z =-½ ( v02
-2v0vz+ vz2)
/ g + (v02
- v0vz)
/ g + h.
z = ½ (v02
- vz2)
/ g + h.
A partir de l'énergie mécanique donner une autre expression de z en
fonction de g, vz et vs.
½mvs2
=½mv2z
+ mgz ; ½vs2
=½v2z
+ gz ; z = ½(vs2
-½v2z
) / g.
L'espace des phases est un plan où l'on porte en abscisse z et en
ordonnée vz.
Tracer
la courbe correspondante au mouvement de la balle M dans l'espace des
phases pout t appartenant à [0, ts].
Quand la balle touche le sol, on admet que sa vitesse change de sens
instantanément et que l'on peut écrire  où e est une
constante tel que 0 < e
<1. On pose t' = t-ts.
Quelle
est la nouvelle vitesse vz(t') et la
nouvelle position z(t') ?
vz(t') = -gt' + evs
; z(t') = -½gt'2 + evs t'.
Exprimer
z en fonction de g, vz, e et vs. Comment
pourrait-on mesurer expérimentalement e
?
L'énergie mécanique est sous forme cinétique juste après le rebond : ½m
(-evs)2.
Conservation de l'énergie mécanique : ½m (-evs)2= ½mv2z
+ mgz ; ½ (-evs)2= ½v2z
+ gz.
z = ½((-evs)2-v2z
) / g.
Au point le plus haut vz = 0 : zmax
= ½((-evs)2/ g avec vs
=g t.
La mesure de zmax permet le calcul
de e.
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On représente
ci-dessous la trajectoire dans l'espace des phases après plusieurs
rebonds.
Compléter
ce graphique. Préciser le sens de parcours.
Pourquoi
a-t-on des tangentes verticales sur l'axe des z ? Par quelle
propriété graphique se traduit la conservation de l'énergie
?
vz = dz/dt ; vz = 0 au
point le plus haut.
Au cours d'un rebond, la trajectoire est symétrique par raport à l'axe
des z.
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Mouvement
avec dissipation.
La résistance de l'air sur la balle animée d'une vitesse v se traduit
par une force qui en norme vaut f = ßmv2 où
ß est une constante. On lance encore la balle d'une hauteur h
avec une vitesse v0 < vmin,
l'élastique n'étant pas tendu.
Ecrire
l'équation différentielle vérifiée par v(t) en fonction de g et ßdans
la phase ascendante puis dans la phase descendante.
Montrer
que dans la phase ascendante du/dz = 2g+2ßu. Expliciter
u(z) en fonction de g, ß, v0 et h. En
déduire l'altitude maximale atteinte.
On pose v2 = u ; 2v dv/dt = du/dt ; du/dt
= g(2v) +ßu(2v).
v = dz/dt ; du/dt = 2g dz/dt+2ß u dz/dt ; du/dz = 2 g+2ßu. (1).
Solution générale
de du/dz -2ßu = 0 :
u(z) = A exp(2ßz) ; A est une constante.
Solution particulière de (1) : u(h) =-g/ß.
Solution générale de (1) : u(z) = A exp(2ßz) -g/ß.
u(h) =v20 =A exp(2ßh)-g/ß ; A =(v20 +g/ß)exp(-2ßh).
u(z) =(v20 +g/ß)exp(2ß(z-h))-g/ß.
u(zmax) =0 =(v20 +g/ß) exp(2ß(zmax-h))-g/ß ; 2ß(zmax-h) =ln (g / (ßv20 +g) ; zmax= h +1/(2ß) ln(g / (ßv20 +g).
Expliciter
u(z) dans la phase descendante. En déduire la vitesse vs
quand la balle touche le sol à l'instant ts.
On pose v2
= u ; 2v dv/dt = du/dt ; du/dt = g(2v) +ßu(2v).
v = dz/dt ; du/dt = 2g dz/dt+2ß u dz/dt ; du/dz = 2 g - 2ßu.
(2).
Solution générale
de du/dz +2ßu = 0 :
u(z) = B exp(-2ßz) ; B est une constante.
Solution particulière de (2), régime permanent : u = g / ß.
Solution générale de (2) : u(z) = B exp(-2ßz)
+ g / ß.
u(zmax) = 0 = B exp(-2ßzmax)
+g/ß ; B =-g/ß exp(2ßzmax).
u(z) = -g/ß exp(2ß(zmax-z)+g/ß
= g/ß(1-exp(2ß(zmax-z))). (3).
u(z) = g/ß(1-exp(2ß(zmax-h +h-z))) = g/ß(1-exp(2ß(zmax-h) exp(2ß(h-z))) =g/ß(1-(g / (ßv20 +g)exp(2ß(h-z))).
Au sol z = 0, vz
= vs ; u = vs2 = g/ß(1-(g / (ßv20 +g)exp(2ßh)).
Tracer
l'allure de la trajectoire dans l'espace des phases entre t=0 et ts.
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Influence
du fil.
Dans cette partie on reprend l'hypothèse de non frottement mais on
considère que le fil possède une masse µL0 ( µ
masse linéïque du fil ) et on écrit la masse de la balle m = l µ.
La balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec la
vitesse initiale v0.
Montrer
que si  le fil
ne se tend pas.
Le fil ne se tend pas : la balle est à l'altitude L0, le centre de gravité du fil est à l'altitude ½L0 et le barycentre G du système balle + fil est à l'altitude H.
La conservation de l'énergie mécanique donne : v02 = 2g H. Le carré de la vitesse initiale doit être inférieure à 2 gH.
H > v02/(2g) ; ½L0(2l+L0) / (l+L0) > v02/(2g) ; L0(2l+L0) > v02/g (l+L0). On pose X = L0 / l et A =v02/(lg) :
X(2+X) > v02/(lg)(1+X) ; X(2+X) > A(1+X) ; X2 +(2-A)X-A >0.
X étant positif doit être supérieur à la racine positive de cette équation.
D = (2-A)2+4A =(2+A)2 ; D½ = ±(2+A).
X =½ (A-2 +2+A) =A ; L0 / l > v02/(lg).
Etudier le
cas limite µ-->0.
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