Transformation du problème à 2 corps en problème à un corps ; lois de Kepler : Agrégation 2013.

Transformation du problème à deux corps en problème à un corps. On modèlise le pulsar binaire par un système de deux étoiles de masse m1 et m2 suppposées ponctuelles ( 1 désigne le pulsar et 2 son compagnon ). On note G1 et G2 les centres de masse des 2 étoiles. On suppose de plus que les deux étoiles forment un système isolé du reste de l'univers et agissent l'une sur l'autre aumoyen de l'interaction gravitationnelle. Quels commentaires peut-on faire à des élèves de terminale S à propos des 2 hypothèses explicitées ci-dessus ? Les dimensions des étoiles sont de l'ordre de 10 km, valeur très faible par rapport à la distance qui les sépare( de l'ordre de 106 km). Les étoiles peuvent donc être assimilées à des points matériel. La distance moyenne entre deux systèmes d'étoiles ( de l'ordre de 1013 km ) est très grande par rapport à la distance séparant deux étoiles du système binaire ( ~106 km). le système binaire peut donc être considéré comme isolé. Rappeler l'expression de la force de gravitation universelle que chacune des étoiles exerce sur l'autre. Définir le centre de masse G du système et le référentiel du centre de masse R* associé. Montrer que  ce référentiel est galiléen. Le centre de masse G est défini par : ( P1 et P2 étant les particules ponctuelles de masse respective m1 et m2 ). Le référentiel de centre de masse R* est centré sur G et en translation par rapport à un référentiel galiléen. Appliquer le théorème du centre d'inertie au système binaire isolé (  aucune force extérieure n'agissent sur lui ) : Le vecteur vitesse de G étant constant, le mouvement de G est rectiligne uniforme : en conséquence R* est galiléen. Dans la suite on se placera dans R*. Comment justifier ce choix ? Dans le référentiel galiléen du centre de masse, les calculs se simplifient. Soient les vecteurs positions du pulsar (1) et de son compagnon (2) dans R*. Montrer que l'étude du mouvement  des deux étoiles se ramène à celui d'une particule fictive P de masse µ =m1m2 /(m1+m2) soumise à une force centrale égale à la force qu'exerce  l'étoile2 sur l'étoile 1. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à chaque particule. En déduire que les caractéristiques de la trajectoire du pulsar ( resp. de son compagnon  se déduisent de celle de la particule fictive P par une homthétie dont on exprimera le centre et dont on exprimera le rapport h ( resp h-1 pour la particule 2) en fonction de m1 et m2. Exprimer l'énergie mécanique E du système binaire dans R*. Montrer que celle-ci s'écrit E = ½µv2 -k/r. L'énergie mécanique est égale à la somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles. E = ½m1v12 + ½m2v22 -Gm1m2 / r. On pose k = Gm1m2. Exprimer le moment cinétique du système binaire. Faire la somme des moments cinétiques de chaque particule. . Les lois de Kepler. Enoncer les 3 lois de Kepler dans le cadre du système solaire. 1ère loi  : les planètes décrivent des trajectoires elliptiques autour du soleil ; ce dernier est l'un des foyers des ellipses. 2ème loi : pendant des temps égaux le rayon vecteur balaye des aires égales. 3ème loi : le cube du demi grand axe de l'ellipse est proportionnel au carré de la période ( temps mis pour effectué une révolution ). Décrire brièvement la démarche de keler pour aboutir à ces lois. Kepler reprend la théorie héliocentrique de Copernic. Kepler exploite les données de Tycho Brahe de manière empirique. Newton, 50 ans plus tard demontrera ces lois.   Montrer que le mouvement de la particule fictive est coplanaire. La particule fictive P est isolée ; son moment cinétique est constant : le rayon vecteur r est à chaque instant perpendiculaire à la direction du moment cinétique. Le mouvement s'effectue dans un plan perpendiculaire au moment cinétique. Par la suite on travaillera dans ce plan et on choisira le repère polaire ( r, q) centré en G. Démontrer la deuxième loi de Kepler, loi des aires. On note dA l'aire balayée par le rayon vecteur durant le temps dt. On pose C = L/µ avec L le module du moment cinétique. Montrer que dans le cas d'une trajectoire élliptique, on a la relation : C = 2pab/T. a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse de la particule fictive et T la période de révolution du système binaire. Aire de l'éllipse pab ; vitesse aréolaire dA/dt =pab/T =½C ;  C = 2pab/T. Troisième loi de Kepler : on considère le mouvement circulaire d'une masse m autour d'une masse M >> m. Etablir que le rayon de l'orbite R et la période de révolution T sont reliés par : R3/T2 = Cste. L'accélération est centripète dans le cas d'un mouvement circulaire. On admettra que cette relation est valable dans le cas d'un système binaire quelconque de trajectoire elliptique à condition de remplacer R par le demi-grand axe a de l'ellipse et M par la masse totale du système binaire. Etablir que : où K = C sin i / p et e est l'exentricité de l'orbite. Dans le repère (Fxyz) : Montrer que K = 2pa sin i / (T(1-e2)½) où T est la période orbitale du pulsar. p = C2/(GM) ; la 3è loi de Kepler donne : GM = 4 p2 a3/T2. Or C = 2pab/T avec b = a(1-e2)½ ; par suite : C = 2pa2(1-e2)½/T. K =C sin i / p = GM sin i / C = 2pasin i / ((1-e2)½/T). On note v1 la vitesse du pulsar et sa vitesse radiale . Montrer que : vrad = -K1(e + cos q) avec K1 =2pa1sin i / ((1-e2)½/T) où a1 est le demi-grand axe de l'orbite du pulsar. L'orbite de la particule (1) se déduit de celle de la particule fictive par une homothétie de centre G et de rapport h : a1 = ha. Analyse du graphe donné par Hulse et Taylor. Discuter de la forme de la courbe. D'après la seconde loi de kepler, on remarque que la vitesse est d'autant plus grande que la durée de passage dans une région est plus courte ( au périastre ). L'orbite étant une ellipse, la figure est asymétrique. Déterminer K1 et e. Graphiquement Vmin = -330 km/s ; Vmax =80 km/s. Vmin = -K1(1+e) et Vmax = K1(1-e). Par suite K1 = ½(Vmax-Vmin) ~200 km/s et e = (Vmax+Vmin) / (Vmin-Vmax) ~0,61. La période de révolution T vaut 7 h 45 min. Calculer a1 sin i. L'expression de K1 donne : a1 sin i = K1 T(1-e2)½/ (2p) =2,0 105 *2,79 104(1-0,612)½/6,28 = 7,2 108 m. Un paramètre important des systèmes binaires est la fonction de masse f = (m2 sin i)3/M2. Montrer que f = TK13(1-e2)3/2 / (2pG). A partir de l'expression de K1 et de la troisième loi de Kepler : On a pu mesurer que i = 46°.  Faire l'hypothèse que m1 = m2 et en déduire la masse du pulsar. m1 = m2 = m = 4 f / sin3i = 1,5 Msoleil.

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