Aurélie 02/11/11
 

 

    Equilibre d'un solide : poussée d'Archimède, ressort ; générateur, conducteur ohmique.




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Un cube flotte à la surface de l'eau.
Le cube est plein.
Côté du cube a = 0,10 m ; masse volumique de l'eau reau = 1,0 103 kg m-3.
Il émerge du quart de sa hauteur.
Exprimer la masse volumique µ du cube en fonction des données.
Le cube est en équilibre sous l'action de son poids P = mg et de la poussée d'Archimède F.
Volume du cube V = a3 ; m = V µ = a3 µ. P =
a3 µ g.
F = poids du volume d'eau déplacé ; V' : volume immergé ; V' = 3/4 a a2=3/4a3.
F =
reau V' g = reau 3/4a3g.
P = F ;
a3 µ g = reau 3/4a3g ; µ =3/4 reau .
µ =
0,75 103 ~7,5 102 kg m-3.
Le cube est creux.
Un quart de sa hauteur est immergée.

Déterminer la masse m du cube ( en grammes).
Poussée F = F =  reau 1/4a3g. Poids P = mg.
A l'équilibre : P = F ; m =
reau 1/4a3 = 1,0 103 *0,25 10-3 =0,25 kg = 2,5 102 g.
Calculer le volume d'air emprisonné.
Volume de matière V" = m / µ = 0,25 / 0,75 103 ~1/3 10-3 m3.
 Volume du cube V = a3  = 0,103 = 1,0 10-3 m3 ; volume d'air V-V" = 2/3 10-3 ~0,67 10-3 m3.
Quelle est l'épaisseur e ( en mm ) de la paroi du cube évidé ?
Aide : 2/3 ~0,667 ; 6671/3 ~8,74.
Volume de la cavité intérieure : (a-2e)3 = 0,667 10-3  = 667 10-6 ; a-2e = 8,74 10-2 m
e = (0,10 -
0,0874) / 2 =6,63 10-3 m ~6,6 mm.

Masse fixée à un ressort de raideur k.
La tige OM = L0 = 1,0 m est rigide, de masse négligeable ; elle est articulée en O et M. L'action, notée R, de la tige OM sur la masse m est dirigée suivant OM.
Longueur à vide du ressort : 2 L0 ; OA =
2 L0 ; masse de la sphère m = 1,0 kg.
L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur correspond à téta q=0. L'origine de l'énergie potentielle élastique correspond au ressort non déformé.

Exprimer  Epp, l'énergie potentielle de pesanteur en fonction des données.
Origine de l'énergie potentielle de pesanteur : le centre de gravité de la sphère est en B. (q=0 ; tige OM verticale et ressort vertical soit AB = 2L0+L0 = 3 L0 ).
Position de B : zB = L0 en dessous de O ; B est donc choisie comme origine de l'axe vertical ascendant.
Epp(z) = mg z + C avec z ordonnée du centre de gravité G de la sphère : z =L0-  L0 cos q.
Epp(q) =mg(L0-  L0 cos q) ;  Epp(q) = mg L0 ( 1- cos q).
Le rayon de la sphère pleine est négligeable devant L0 : la masse m peut être considérée comme ponctuelle.
Exprimer  Epe, l'énergie potentielle élastique en fonction des données.
Formule de Al-Kashi  : a2 = b2 +c2 -2bc cos A.
L2 = (2L0)2 +L02 -2L0 2L0 cos ( p-q) =5 L02 +4L02 cosq = L02 ( 5 +4 cosq) ; L = L0( 5 +4 cosq)½.
Epe = ½ k (L-L0)2 =½ k L02 (( 5 +4 cosq)½-1)2.
L'énergie totale est notée Ep. L'une des condition de stabilité est dEp/dq=0.
Exprimer
dEp/dq.
Ep = mg L0 ( 1- cos q)+ ½ k L02 (( 5 +4 cosq)½-1)2.
dEp/dq = mg L0 sin q +½ k L02 2(( 5 +4 cosq)½-1)(-2sin q ).



Electricité.
La résistance d'un fil métallique cylindrique, de longueur L, de section S, de diamètre d est R =r L/S. r est la résistivité dépendant de la nature du métal.
Donner l'unité de r. Donner les unités de base de cette grandeur, en déduire ses dimensions.
r s'exprime en ohm mètre.
Energie ( joule) = résistance ( ohm) intensité 2 ( A2) temps ( s).
Energie ( joule) = force (N) distance ( m) ; force = masse ( kg) accélération ( m s-2).
résistance ( ohm) = Energie / (intensité 2  temps ) =kg m s-2 / ( A2 s) = kg m  / ( A2 s3)
r s'exprime en ohm mètre soit kg m2 / ( A2 s3).
R = 10 ohms
Exprimer puis calculer L. d = 2,0 mm et r = 6,2 10-8 SI.
S = p d2/4  ; L = R S / r =  R
p d2/(4r) =10*3,14*4 10-6/ (4*6,2 10-8) =50617 ~ 5,0 102 m.
On souhaite obtenir une résistance R' = 1,5 R à partir des conducteurs ohmiques suivants :  2 résistances R1 = 10 ohms ; une résistance R2 = 20 ohms, une résistance R3 = 40 ohms et 2 résistances R4 = 80 ohms.
Proposer une association utilisant tous ces conducteurs.




La caractéristique d'un générateur passe par les points A ( 5,9 V ; 100 mA) et B (5,5 V ; 500 mA):
Déterminer sa fem E et sa résistance interne r
.
Loi d'ohm pour un générateur : U = E-rI ; en A : 5,9 = E -0,1 r ; en B : 5,5 =E -0,5 r.
5,9-5,5 =  0,4 r d'où r = 1,0 ohm.
Par suite : E = 5,9 +0,1 = 6,0 V.
On associe R au générateur.
Exprimer puis calculer la puissance dissipée par effet Joule dans ce conducteur.
PJ = RI2 avec I = E / (R+r) ;
PJ = RE2 / (R+r)2=10*36 / 121 =2,98 ~3,0 J.








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