Aurélie 02/11/11
 

 

    Oscillateur électrique idéal et réel : concours technicien météo 2011.







On étudie un oscillateur électrique idéal représenté figure ci-dessous :
Il est constitué par :
· un condensateur de capacité C = 0,50 μF
· une bobine d'inductance L = 0,50 H.
· La résistance du circuit est négligeable.
On charge le condensateur, la tension à ses bornes vaut : UAB(t= 0) = U0 = 5,0 V.
Puis à t = 0, on ferme l'interrupteur K.
Soit q la charge de l'armature A du condensateur à un instant t quelconque (t > 0).
Ecrire l'expression de la tension aux bornes du condensateur en fonction de q et de C.
Écrire l'expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction de q, L et t.
Déduire  l'équation différentielle qui régit les variations de la charge q.

L'équation différentielle admet une solution de la forme : q = Qm cos (ω0t + f).
Que représentent les grandeurs Qm et ω0 ? Déterminer les valeurs numériques correspondantes.
Qm  : charge initiale du condensateur soit CU0 = 5,0 10-7*5 =2,5 10-6 C.
ω0 = 1/(LC)½, pulsation :1/(0,5*5,0 10-7)½=2,0 103 rad/s.
Le symbole f représente la phase à l'origine.Vérifier que la valeur f = 0 est en accord avec les conditions de l'étude.
q (t=0) = Qm cos ( f) = CU0 =2,5 10-6 Coulomb.
La valeur f = 0 est en accord avec les conditions de l'étude.
Calculer la période propre T0 des oscillations.
T0  = 2 p / ω0= 3,14 10-3 s.

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L'oscillateur réel.
On réalise l'étude expérimentale d'un oscillateur électrique constitué par un condensateur de capacité C = 0,50 μF et une bobine d'inductance L = 0,50 H. Soit R la résistance totale du circuit.
A l'aide d'une carte d'acquisition reliée à un ordinateur et d'un logiciel de traitement des données, on obtient le document ci-après représentant :
- d'une part, les variations de la charge q du condensateur en fonction du temps t : ordonnée (q) (axe gradué à gauche) ;
- d'autre part les variations de l'énergie Emag emmagasinée dans la bobine en fonction du temps t : ordonnée Emag (axe gradué à droite).
Dans la suite, on notera Eel l'énergie emmagasinée dans le condensateur.

Déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T des oscillations.
Déduire du graphique la valeur de la tension aux bornes du condensateur à la date t = 0.

T = 9,3 /3 = 3,1 ms ; U0 = Qm/C = 2,5 10-6 / 5 10-7 =5,0 V.




Pour l'instant t1 = 2,4 ms, déterminer à partir du graphique :
la valeur de l'énergie E1mag emmagasinée dans la bobine ; la valeur de l'énergie E1el emmagasinée dans le condensateur ; la valeur de l'énergie électromagnétique E1 du circuit.
E1 =
E1mag +E1el = 4,9 µJ.

Pour l'instant t2 = 9,5 ms, déterminer à partir du graphique :
la valeur de l'énergie E2mag emmagasinée dans la bobine ; la valeur de l'énergie E2e1 emmagasinée dans le condensateur ; la valeur de l'énergie électromagnétique E2 du circuit.

E2e1 = ½q2/C = 0,5 *(1,5 10-6)2 / 5,0 10-7 =2,25 10-6 J~2,3 µJ. E2 = E2mag +E2el = 2,3 µJ.
A partir du graphe, justifier la conservation ou la non-conservation de l'énergie électromagnétique du circuit. Quel phénomène physique explique ces résultats ?
L'énergie totale du dipole (LC) diminue avec le temps : non conservation de l'énergie. Lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule dans les parties résisrives du circuit.

On admettra la relation E2/ E1 = exp(-R/L(t2-t1)) (relation valable pour les amortissements faibles). Déterminer une valeur approchée de la résistance R du circuit.
ln(
E2/ E1) =-R/L(t2-t1) ; R = ln(E1/ E2 L /(t2-t1)= ln(4,9/2,3)*0,50 / (9,5-2,4)10-3 ~ 53 ohms.








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