Aurélie 02/11/11
 

 

    Les satellites d'Uranus : concours technicien météo 2011.




Grâce aux sondes Voyager (1977-1989), nous connaissons actuellement l'existence de 15 satellites de la planète Uranus. Les 5 plus gros d'entre eux ont été découverts bien avant, grâce aux observations depuis la Terre, entre 1787 et 1948. L'observation de ces 5 satellites a permis de déterminer les caractéristiques suivantes :
Nom
Diamètre ( km)
Rayon moyen de l'orbite r ( 106 m)
Période de révolution T (j)
Année de découverte
Titania
1578
435,8
8,71
1787
Obéron
1523
582,6
13,50
1787
Umbriel
1169
266,0
4,14
1851
Ariel
1158
191,2
2,52
1851
Mirnada
472
129,8
1,41
1948



Constante de gravitation universelle : G = 6,67 x 10-11 S.I. ; 1 jour = 86 400 s .
On supposera que la répartition de masse d'Uranus et de ses satellites est à symétrie sphérique.
D'autre part, les caractéristiques de ces satellites sont données par rapport au référentiel A,supposé galiléen, défini par le centre d'Uranus et trois étoiles très éloignées.
On admet que le mouvement des centres des satellites est circulaire uniforme dans le référentiel A.
Établir l'expression littérale de la vitesse de révolution v du centre d'un satellite en fonction du rayon r de sa trajectoire et de sa période T de révolution.
Le satellite décrit la circonfrence 2pr, exprimée en mètre, à la vitesse v, exprimée en m/s, en T seconde.
v =
2pr / T.
Calculer la vitesse de révolution du centre d'Umbriel dans le référentiel A en m.s-1.
T = 4,14 j = 4,14 *86400 =3,57696 105 s.
v = 2*3,14*266 106 /
3,57696 105= 4,6725 103 ~4,67 103 m/s.
Relation entre la vitesse de révolution et le rayon de l'orbite.
En utilisant les données du tableau ci-dessous et le résultat précédent obtenu pour Umbriel, tracer la représentation graphique de la fonction v2 = f (1 / r).



Titania
Obéron
Umbriel
Ariel
Miranda
1/r (x10-9 m-1)
2,29
1,72
3,76
5,23
7,70
v2(x107 m2s-2)
1,32
0,98
2,18
3,04
4,48
v2 r (x1015 m3s-2) 5,76
5,70
5,80
5,81
5,82
En déduire la relation entre v2 et 1/r.
v ~  5,8 1015 / r.


.


.




Calcul de la masse d'Uranus.
Démontrer que le mouvement circulaire du centre d'un satellite d'Uranus est nécessairement uniforme.
Un satellite est soumis uniquement à la force attractive centripète d'Uranus. Cette force est constamment perpendiculaire à la vitesse du satellite.
Une force perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas et l'énergie cinétique du satellite reste constante. La valeur de la vitesse est constante : le mouvement est uniforme.
Établir l'expression de v2 en fonction de G, r et de la masse M d'Uranus.


Montrer que l'expression obtenue pour v2 est en accord avec la représentation graphique.
v2 est proportionnelle à 1/r : le graphe v2 = f(1/r) est une droite passant par l'origine et de pente égale à GM.
Déduire de cette représentation la masse d'Uranus.
M =
5,8 1015 / 6,67 10-11 =8,7 1025 kg.








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