Cette
partie est consacrée à l'évaluation du couple de freinage dû aux
frottements de l'air sur le disque. Considérons un problème plus simple
: un écoulement de Couette plan.
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Une
plaque rectangulaire d'épaisseur h selon l'axe vertical Oz, a de très
randes dimensions suivant Ox et Oy. Elle est en mouvement de
translation horizontale rectiligne uniforme selon Ox, avec une vitesse  . On donne vp0 = 5,00 m/s.
Elle se déplace entre deux parois planes d'abscisses verticales
respectives -(½h+h') et ½h+h'. Ces deux parois sont fixes dans le
référentiel d'étude R0, supposé galiléen. On prendra h' =1,50 mm.
L'air, de masse volumique µa = 1,20 kg m-3, est considéré comme un fluide newtonien, de viscosité dynamique ha = 1,80 10-5 SI.
Quel est le nom du
physicien associé à l'unité de viscosité dynamique ?
Pascal.
Comment s'exprime cette unité à partir des bases du système internationnal d'unités ?
Pa s ou M L-1 T-1.
Donner
l'expression du nombre de Reynolds de façon générale, en précisant les
grandeurs physiques utilisées. Quel est l'intérêt de ce nombre ?
Le nombre de Reynolds (sans
unité) permet de déterminer si un
écoulement est laminaire ou turbulent.
r
: masse volumique du fluide (kgm-3) ; v : vitesse
moyenne (ms-1),
D : diamètre de la conduite ou grandeur caractéristique
(m), h
= viscosité dynamique du fluide (Pa s).
Re < 2000 écoulement
laminaire ; Re > 3000 écoulement
turbulent.
Evaluer la valeur du nombre de Reynolds et conclure quant à la nature de l'écoulement.
Re = 1,20 *5,00 *1,50 10-3 / 1,80 10-5 = 500. ( écoulement laminaire ).
On rappelle l'équation de Navier-Stokes :
Dans le contexte de l'étude, la pesanteur peut être négligée, la
pression sera considérée comme uniforme et l'écoulement en régime
permanent.
Montrer que vx(z) vérifie l'équation d2vx(z) / dz2 = 0.
En régime permanent, le membre de gauche est nul.
Le premier terme du membre de droite est nul : " pression sera considérée comme uniforme ".
Le second terme du membre de droite est nul : " la pesanteur peut être négligée".
L'écoulement est plan et le mouvement est une translation horizontale rectiligne uniforme selon Ox, avec une vitesse .
Par suite : d2vx(z) / dz2 = 0.
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En déduire les deux lois vx+(z) et vx-(z) respectivement pour les zones ½h+h' > z > ½h et -(½h+h') < z < -½h.
vx(z) = A z + B avec A et B des constantes d'intégration.
Zone ½h+h' > z > ½h : vx(½h+h') =0 = A (½h+h') + B (1) ; vx(½h) =vp0= A (½h) + B (2).
(1)-(2) donne : A (½h+h')-A (½h) = -vp0 ; Ah' = -vp0 ; A = - vp0/ h' ; B = vp0/ h' (½h+h').
vx+(z) = - vp0/ h' z +vp0/ h' (½h+h') = vp0/ h'(-z + ½h+h').
Zone -(½h+h') < z < -½h : vx(-½h-h') =0 = -A (½h+h') + B (3) ; vx(-½h) =vp0= -A (½h) + B (4).
(3)-(4) donne : -A (½h+h')+A (½h) = -vp0 ; Ah' = -vp0 ; A = vp0/ h' ; B = vp0/ h' (½h+h').
vx-(z) = vp0/ h' z +vp0/ h' (½h+h') = vp0/ h' (z + ½h+h').
On considère une surface élémentaire d2S = dxdy de la partie supérieure ( en z = ½h) de la plaqque mobile.
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Quelle est la force élémentaire de frottement d2F+ exercée par l'air sur cet élément de surface ?
d2F+ = ha dxdy dvx+(z) /dz ex= -ha dxdy vp0/ h' ex.
Quelle est la force élémentaire de frottement d2F- exercée par l'air sur un élément de surface situé à la partie inférieure de la plaque ?
d2F- = ha dxdy dvx+(z) /dz ex = ha dxdy vp0/ h' ex.
Considérons à présent le lecteur de disques optiques numériques schématisé ci-dessous :
Le référentiel d'étude est R0, lié au boitier de lecture. Il est supposé galiléen. Le disque de hauteur h et de rayon Rext = 6,00 cm est animé d'une vitesse angulaire constante  . L'air est considéré comme un fluide newtonien.
Déterminer la vitesse  d'un point M+, de coordonnées cylindriques (r, q, ½h) appartenant à la face supérieure du disque.
Dans
un modèle très simplifié, le champ des vitesses dans l'air peut être
considéré comme stationnaire et s'écrire ici sous la forme  .
En utilisant le résultat ci-dessus et en étant très attentif à la nouvelle géométrie du système, évaluer la force élémentaire de frottement exercée par l'air sur un élément de surface d2S = rdrdq de la partie supérieure du disque, située à une distance r de l'axe de rotation.
d2F+ = ha rdrdq dvM+(z) /dz eq= - ha rdrdq W0 r/h' eq= - ha r2drdq W0 / h'eq.
F+ = -ha R3ext /3 2 p W0 / h'eq.
Déterminer le moment du couple dû aux frottements de l'air sur les deux faces du disque.
G =-ha h R3ext /3 2 p W0 / h' ez = - afrott W.
Montrer que le moment peut se mettre sous la forme  et exprimer afrott en fonction de ha, Rext et h'.
afrott = ha h R3ext /3 2 p / h'.
Calculer afrott si h' = 1,50 mm , h = 1,20 mm et Rext = 6,00 cm.
afrott =1,80 10-5 *1,20 10-3 *0,063 /3*2*3,14 /(1,5 10-3) =1,47 10-8 N m s.
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