Détecteur de métaux : bac STL PLPI 2012

Aurélie 26/08/12

Détecteur de métaux : bac STL PLPI 2012.

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Les détecteurs de métaux sont couramment utilisés lors du triage sélectif des déchets dans l’industrie, durant les contrôles de sécurité ou dans la recherche de métaux précieux. Leur principe est le suivant :
L’inductance L d’une bobine varie lorsqu’un métal se trouve à proximité. Cette bobine est l’un des composants d’un oscillateur dont la fréquence dépend de la valeur de L. Elle joue le rôle de détecteur de métal.
Le traitement du signal produit par un filtre permet de mettre en évidence le changement de fréquence dû à la présence de matériaux métalliques. L’étude proposée se décompose en différentes parties A, B, C et D correspondant aux éléments représentés sur le schéma de fonctionnement :

Les amplificateurs opérationnels sont considérés comme parfaits et sont alimentés par des tensions symétriques. Les tensions de saturation ± V_sat sont égales aux tensions d'alimentation. On prendra ± V_sat = ± 14V.
On notera ε la différence de potentiel existant entre les entrées E⁺ et E^- de l’AO. Les diodes sont considérées comme parfaites (tension de seuil nulle, résistance interne nulle).
Seules les conditions de détérioration des diodes électroluminescentes sont prises en compte en partie D.
Etude du circuit RLC.
Un circuit RLC série est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace E et de
pulsation ω dont l’expression est : u(t) = E. 2^½.sin(ω.t)
Déterminer l’expression de l’impédance complexe Z associée au dipôle série RLC en fonction des grandeurs R, L, C et ω.
Z = R+j(Lw-1/(Cw)).
Exprimer le module Z de Z en fonction des grandeurs R, L, C et ω.
Z = (R² +(Lw-1/(Cw))²)^½.
Ecrire le nombre complexe U associé à la tension u(t) et exprimer le nombre complexe I associé au courant i(t) en fonction des nombres complexes Z et U.
U = E. 2^½ ; I = U / Z.
Exprimer l’intensité I, module du nombre complexe I en fonction des grandeurs E, R, L, C et ω.
I = E. 2^½ / (R+j(Lw-1/(Cw))) = E. 2^½ (R-j(Lw-1/(Cw))) / (R² +(Lw-1/(Cw))²).
I = E. 2^½/ (R² +(Lw-1/(Cw))²)^½.
Montrer que l’intensité I est maximale (de valeur I_max) dans le circuit lorsque la fréquence f prend la valeur f₀ = 1/(2p (L.C)^½).
Le dénominateur (R² +(Lw-1/(Cw))²) doit être minimum égal à R soit Lw₀-1/(Cw₀) =0 ;
w₀² = 1/(LC) ; w₀ =1/(LC)^½ ; de plus f₀ = w₀/(2p) d'où : f₀ = 1/(2p (L.C)^½).
On donne : R = 12 ohms, L = 85 mH, C = 10 nF et E = 5,0 V.
Calculer la valeur de la fréquence f₀ et de l’intensité maximale I_max.
f₀ = 1/(2*3,14(0,085*10^-8)^½) =5459 ~5,5 10⁴ Hz.
I_max= E. 2^½/ R =5,0*1,414 / 12 =0,589 ~0,59 A.
Etude du dipôle dit « à résistance négative ».
L’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire.

Donner la relation entre les tensions u_e, ε et u⁺. Quelle est la valeur de la tension ε ? Expliquer la réponse.
u_e + e = u⁺ ; en régime linéaire, e =0.
Exprimer l’intensité i en fonction des grandeurs u_e, R₁ et u_s.
u_e = u_s+ R₁ i ; i = (u_e - u_s) / R₁.
Exprimer la tension u_s en fonction des grandeurs R₀, R₂ et u⁺.
u_s =(R₀+R₂) i' ; u⁺ = R₀ i' ; u_s =(R₀+R₂) u⁺ / R₀.
En déduire l’intensité i en fonction des grandeurs u_e, R₁, R₂ et R₀.
i = u_e (1-(R₀+R₂)/ R₀) / R₁= - u_eR₂/ (R₀ R₁ ).
Montrer que la tension u_e peut se mettre sous la forme : u_e = - R_N.i avec R_N = R₁.R₀/R₂.
u_e = -(R₀ R₁ ) / R₂ i = -R_N i.

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Association du dipôle RLC et du dipôle dit « à résistance négative ».
Le dipôle AB a pour schéma équivalent la résistance R_N définie précédemment. On associe cette résistance au dipôle RLC.

Condition d’oscillation du dipôle :
La valeur de R_N doit être égale à la valeur de la résistance R du dipôle RLC afin que des oscillations s’entretiennent dans le circuit.
On donne : R = 12 ohms, R₁= 1,0 kW, R₂ = 10 kW.
Calculer la valeur que doit prendre la résistance R₀ afin que cette condition soit réalisée.
R_N = R₁.R₀/R₂. R₀ =R_N R₂ / R₀ = 12*10 / 1 = 120= 1,2 10² ohms
Mise en oeuvre de l’oscillateur :
La fréquence d’oscillation f_osc de cet oscillateur est la même que la fréquence de résonance f₀ du circuit RLC.
Exprimer l’inductance L en fonction des grandeurs f_osc et de C.
f_osc = 1/(2p (L.C)^½) ; L = 1/(4p²Cf_osc² ).
Suivant la quantité et la proximité de métal aux alentours de la bobine, la valeur de L varie. On considère 3 échantillons de matière, A, B et C. L’échantillon A ne contient pas de métal alors que les 2 autres en contiennent.
La valeur de la capacité C est de 10 nF. On mesure pour les 3 échantillons la valeur de la fréquence fosc obtenue :
Calculer la valeur de l’inductance L en mH pour chacun des 3 échantillons.
Echantillon A B C
f_osc (Hz) 5000 5100 5400
L(mH) 1,0 10² 97 87
Etude expérimentale du filtre sélectif utilisé.

Afin de faire une étude du filtre sélectif, on branche à l'entrée un générateur délivrant une tension sinusoïdale u₁ et on visualise la tension de sortie u₂ à l'oscilloscope.
On note U₁ et U₂ les valeurs efficaces des tensions u₁ et u₂. Une étude expérimentale permet d’obtenir le tracé de la fonction de transfert T en fonction de la fréquence f : T(f) = U₂ /U₁.
Donner la nature du filtre (passe bande, passe haut, passe bas) en expliquant votre réponse.
T est nulle pour les faibles fréquences et les hautes fréquences ; T présente un maximum : il s'agit d'un filtre passe bande.
Repérer la fréquence d'accord f₀ du filtre pour laquelle T(f) atteint sa valeur maximale T_max. Donner la valeur de f₀ et la valeur de T_max.

Expliquer par quelle démarche expérimentale on peut trouver cette fréquence d’accord.
Faire varier la fréquence, noter la valeur U₂ à U₁ constante.
Repérer les valeurs f₁ et f₂ des fréquences de coupure pour lesquelles on a T = Tmax / 2^½. Indiquer les valeurs de f₁ et f₂ et en déduire la largeur Δf de la bande passante
de ce filtre.
Df = f₂-f₁ = 5,08-4,92 =0,16 kHz.
Association de l’oscillateur et du filtre sélectif.
L’oscillateur de la partie A permet de générer un signal sinusoïdal de valeur efficace U₁ = 10V dont la fréquence dépend de la proximité de métal. On applique successivement à l’entrée du filtre les tensions u_1A, u_1B et u_1C
correspondant respectivement aux échantillons A, B et C.
Relever sur la courbe pour chacun des 3 signaux la valeur de T du filtre sélectif.

En déduire pour chacun d’eux la valeur efficace U₂ de la tension en sortie du filtre.
Echantillon A B C
T 1,0 0,63 0,20
U₂ = U₁ T (V) 10 6,3 2,0
Montage détecteur de crête.

L’allure de la tension u₂ pour le signal de l’échantillon C est représentée sur les figures 2 et 3. Cette tension est appliquée à l’entrée du montage représenté sur le schéma 5.
Représenter alors la tension u_3R.

La diode passante est parfaite ; la tension à ses bornes est nulle ; la diode ne laisse pas passer le courant quand u₂ est négative.
On ajoute au montage précédent un condensateur en dérivation avec la résistance.( schéma 6).
Quel est le rôle de ce condensateur ? Donnant l’allure de la tension u₃.
Lorsque la tenion u_3R croît, le condensateur se charge ; lorsque la tension u_3R décroît ou s'annule, le condensateur se décharge à travers le résistor R₃. Les variations de u_3R sont " nivellées".

Visualisation de la présence d'un métal.
Le montage étudié est présenté sur le schéma 7.

La tension U est une tension continue dont la valeur dépend de la présence de métaux.
U_{3 A} = 14 V ; U_{3 B} = 8,5 V ; U_{3 C} = 2,8 V.
Donner le régime de fonctionnement de chaque amplificateur opérationnel de ce montage. Justifier la réponse. Quelles sont les deux valeurs possibles pour la tension de sortie de chaque amplificateur opérationnel ?
Il n'y a pas de boucle entre la sortie et l'entrée inverseuse E^-. E^- : on applique une tension de référence ; E⁺ : on applique U₃ : les AO fonctionnent en mode de saturation, deux valeurs de sortie sont possibles +V_sat ou - V_sat.
Quelle est la valeur de l’intensité i^- entrant dans l’entrée inverseuse de l’AO₁? Justifier la réponse.
L'impédance d'entrée étant très grande ( voire infinie, AO parfait ), l'intensité i^- est nulle.
Exprimer l’intensité du courant I arrivant au noeud N₁ en fonction des grandeurs R₅ et de E_REF.
E_REF = 5 R₅ I soit I = E_REF/ ( 5 R₅ ).
Exprimer la tension U_N3M en fonction de la tension d’entrée E_REF.
U_N3M = 3 R₅ I = 3/5 E_REF = 0,6E_REF.
Sachant que E_REF vaut 13V, calculer la valeur numérique de U_N3M.
U_N3M =0,6 *13 = 7,8 V.
On donne les potentiels suivants : U_N1M =13 V ; U_N2M =10,4 V ; U_N3M = 7,8 V ; U_N4M =5,2 V ; U_N5M =2,6 V.
Compléter le tableau du document réponse en indiquant pour chaque échantillon si les diodes électroluminescentes sont allumées ou éteintes.
U_N1M =13 V ; U_{3 A} = 14 V ; U_{3 A} -U_N1M positive, donc la tension de sortie de l'AO₁ vaut + V_sat : D₁ est passante.
U_N2M =10,4 V ; U_{3 A} = 14 V ; U_{3 A} -U_N2M positive, donc la tension de sortie de l'AO2 vaut + V_sat : D₂ est passante. De même pour les autres diodes.
U_N1M =13 V ; U_{3 B} = 8,5 V ; U_{3 B} -U_N1M négative, donc la tension de sortie de l'AO₁ vaut - V_sat : D₁ est non passante. De même pour D₂.
U_N3M =7,8 V ; U_{3 B} = 8,5 V ; U_{3 B} -U_N3M positive, donc la tension de sortie de l'AO₃ vaut + V_sat : D₃ est passante. De même pour D₄et D₅.
U_N1M =13 V ; U_{3 C} = 2,8 V ; U_{3 C} -U_N1M négative, donc la tension de sortie de l'AO₁ vaut - V_sat : D₁ est non passante. De même pour D_2,D₃, D₄.
U_N5M =2,6 V ; U_{3 C} = 2,8 V ; U_{3 C} -U_N5M positive, donc la tension de sortie de l'AO5 vaut + V_sat : D₅ est passante.
Etat des diodes
Echantillon D₁ D₂ D₃ D₄ D₅
A passante passante passante passante passante
B non passante non passante passante passante passante
C non passante non passante non passante non passante passante
Préciser brièvement le rôle des résistors R_pet des diodes D_p en vous aidant des références données pour les DEL.
Références DEL : Les diodes électroluminescentes supportent une intensité maximale I_max de 35 mA et une tension en polarisation inverse maximale V_rmax de 5,5 V.
Les résistors R_p limitent l'intensité du courant. Les diodes D_p sont passantes si les diode D_i sont non passantes : la tension aux bornes des diodes non passantes reste inférieure à 5,5 V.
On dispose de deux types de résistors, les uns de résistance R = 50 ohms et les autres de valeur R = 500 ohms.
Expliquer lequel on doit utiliser pour les résistances R_p.
La tension aux bornes des diiodes parfaites passantes est nulle ; la tension aux bornes de R_p vaut + V_sat = R_{p mini}I_max ;
R_{p mini} = V_sat / I_max= 14 / 0,035 = 400 ohms. On choisit R_p = 500 ohms.

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