Dans
le liquide est une petite figure d'émail, soutenue par une boule de
verre creuse qui contient de l'air et de l'eau... Cette boule est
percée à sa partie inférieure, d'une petite ouverture par laquelle
l'eau peut pénétrer ou sortir, selon que l'air intérieur à la boule est
plus ou moins comprimé... Si on exece avec la main une pression sur le
piston, l'air qui est au dessous se trouve comprimé et transmet la
pression à l'eau du vase et à l'air dans la boule...
A Ganot, traité de physique, Ed Ganot 1870.
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Principe de fonctionnement.
Au laboratoire le ludion peut être réalisé à l'aide d'une bille B de verre de volume VB,
symbolisant la figurine solide, placée dans un ballon de baudruche A
fermé et imperméable, renfermant de l'air de volume variable VA ; le ludion a donc un volume VL variable tel que VL = VA + VB.
Il est placé dans une éprouvette cylindrique verticale C, remplie d'eau
sur une hauteur h très supérieure aux dimensions du ludion et fermée
dans sa partie supérieure par une membrane imperméable M.
Lorsqu'on appuie pas sur la membrane, le ludion est en équilibre en un
point voisin de la surface de l'eau ( figure 1). Lorsqu'on appuie sur
la membrane M, on constate que le ludion tombe au fond de l'éprouvette
( figure 2).
On se propose d'interpréter sommairement cette observation.
Données : masse du ludion ( bille + ballon + air du ballon ) m = 6,8 g.
Volume de la bille VB = 1,8 cm3 ; reau = 1000 kg m-3 ; g = 9,8 m s-2 ; T = 298 K.
Etude de l'équilibre.
Faire l'inventaire des forces s'exerçant sur le ludion à l'équilibre. Exprimer la valeur des différentes forces.
Le poids P, verticale vers le bas, valeur m g ;
la poussée d'Archimède F, verticale vers le haut, valeur VL g reau.
Soit VA1 le volume d'air enfermé dans le ballon lorsque le ludion est en équilibre.
Etablir son expression littérale en fonction de m, reau et VB ; calculer VA1.
VA1 = VL-VB ;
à l'équilibre le poids est opposé à la poussée : ces deux forces ont même valeur :
m g = VL g reau d'où : VL = m / reau ;
Par suite : VA1 = m / reau -VB.
VA1 =6,8 10-3 / 1000 -1,8 10-6 =5,0 10-6 m3.
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Mise en mouvement du ludion.
L'eau est supposée incompressible. la compression de la membrane
augmente globalement la pression de l'eau sur l'air enfermé dans le
ludion. On considère l'air comme un gaz parfait.
Indiquer l'évolution d'air contenu dans le ludion après compression de la membrane.
VA P = nRT avec n et T constants.
Si la pression P augmente, alors VA diminue.
Justifier le mouvement de descente du ludion.
Le poids reste constant, la poussée d'Archimède diminue si VA décroït.
Le poids étant supérieur à la poussée, le ludion descend.
Etude
du mouvement du ludion.
On
se place dans le référentiel du laboratoire. On définit un axe vertical
Oz dirigé vers le bas, le point O coïncide avec le centre d'inertie du
ludion à l'instant de date t=0. ( l'instant où le ludion débute sa
descente ).
On suppose que le ludion est soumis à une force de frottement  où v est la vitesse du centre d'inertie de la bille et k le coefficient de frottement ( k = 1,6 10-2 kg s-1).
On néglige la variation de pression avec la profondeur et on considère
que la pression de l'eau sur l'air enfermé dans le ludion est la même
quelle que soit l'ordonnée z du ludion. Le volume d'air du ludion est
désormais VA2 = 4,8 cm3 et est supposé constant sur l'ensemble de la descente.
Représenter,
à l'aide d'un schéma, sans souci d'échelle, mais de façon cohérente,
les forces s'exerçant sur le ludion en mouvement.
Etablir l'équation différentielle du mouvement. Montrer que l'équation précédente est de la forme dv/dt +A v =B. Donner l'expression de B.
Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas :
mg - k v -VL g reau = mdv/dt.
dv/dt + k/m v = g(1-VL reau / m).
B = g(1-VL reau / m) avec VL = VB + VA2.
Vérifier que B = 0,29 SI en précisant son unité.
B = 9,8 (1-(1,8+4,8) 10-6 *1000 / (6,8 10-3)) ~ 0,29 m s-2.
On veut résoudre cette équation par une méthode numérique : la méthode
d'Euler. Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul des
valeurs de la vitesse v et de l'accélération a du ludion en fonction du
temps t. Il correspond à A = 2,4 s-1.
t(s)
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v (m/s)
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a ( m s-2)
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0,00
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0,00
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0,29
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0,10
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0,03
|
0,22
|
| 0,20 |
0,05 |
0,17 |
0,30
|
0,07
|
0,13
|
0,40
|
0,08
|
a4
|
0,50
|
v5
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0,07
|
0,60
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0,10
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0,06
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Quelle est la valeur du pas d'itération ?
Dt = 0,10 s.
Déterminer a4 et v5 en explicitant les calculs.
Dv = v(t+Dt) - v(t) ; Dv / Dt = a(t) = B-Av(t).
a4 = A v4 +B = 0,29-2,4 *0,08 =0,098 m s-2.
(v5 - v4 ) / Dt =a4 ; v5 = v4 + a4 Dt = 0,08 +0,098*0,10 = 0,0898 ~0,09 m/s.
On
a représenté sur le même graphique les courbes d'évolution de la
vitesse du ludion au cours du temps pendant sa descente, obtenues d'une
part par pointage vidéo et traitement informatique, d'autre part par la
méthode d'Euler. Sans conclure sur la validité du modèle utilisé pour
la force de frottement,
quel serait l'intérêt de diminuer le pas d'itération ?
La
précision serait augmentée et les deux courbes seraient plus proches
l'une de l'autre. Par contre le nombre de calculs serait beaucoup plus
grand.
Déterminer l'expression de la vitesse limite et vérifier qu'elle est en accord avec l'expérience.
dvlim/dt = 0 ; Avlim = B ; vlim = B/A = 0,29 / 2,4 = 0,12 m/s.
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