Diffusion de Rutherford : concours ITPE 2010

Dans l'expérience de Rutherford ( 1911) , une fine couche d'or est bombaedée par un faisceau de particules a. C'est de cette expérience que Rutherford déduisit le modèle planétaire de l'atome. On note : e, valeur absolue de la charge d'un électron ; e0, permitivité diélectrique du vide. Un noyau de numéro atomique Z, assimilé à un point matériel de masse M, supposé immobile dans le référentiel du laboratoire, est bombardé par une particule a ( noyau d'hélium ) de masse m et de charge 2e. On note respectivement O et P les points occupés par les centres du noyau et de la particule. Loin du noyau, lorsque l'interaction entre le noyau et la particule a est négligeable, le mouvement de celle-ci peut être considéré comme rectiligne uniforme de vitesse V0. On note b la distance de O à la droite support de V0 ( paramètre d'impact ). On note I l'intersection des asymptotes de la trajectoire et Ox l'axe défini par les points O et I.   Expliquer qualitativement ce qui se passe lorsque la particule se rapproche du noyau. Le noyau et la particule alpha portent des charges positives. Lors de son approche, la particule subit une force de Coulomb répulsive, dirigée constamment vers le point O fixe. Montrer que la paticule a subit de la part du noyau une force de la forme et exprimer le coefficient K1 en fonction des données. Le noyau d'or porte la charge Ze et la particule a porte la charge 2e. Indiquer sans calcul, mais en le justifiant, la nature de la trajectoire de la particule. L'énergie mécanique initiale E est sous forme cinétique E = ½mV02, valeur positive. Dans un mouvement à force centrale, l'énergie mécanique se conserve. L'énergie mécanique étant positive, la particule alpha n'est pas lié au noyau d'or : il s'agit d'une diffusion. La force étant répulsive, la trajectoire est une branche d'hyperbole. Montrer que l'énergie mécanique et la quantité C = r2 dq/dt, appelée constante des aires, sont deux constantes du mouvement de la particule. Ecrire le théorème du moment cinétique appliqué en O : Le système constitué par le noyau d'or et la particule a est isolé, aucune force extérieure ne s'applique sur lui : l'énergie méanique du système est constante. Montrer que l'énergie mécanique de la particule peut se mettre sous la forme : E = ½m(dr/dt)2 + Epp(r). Epp(r) est appelée énergie potentielle effective de la particule. Faire une étude rapide de la fonction Epp(r) et tracer sa courbe représentative. Epp = A/r2 + B /r ; dEpp/dr =-2A / r3 - B /r2 ; la dérivée est négative et ne s'annule pas. Epp est une fonction décroissante de r ; Epp est toujours positive. Montrer graphiquement qu'au cours de son mouvement la particule reste à une distance r du centre O du noyau supérieure ou égale à une valeur rmini qui sera portée sur le graphique. Quelle que soit l'énergie mécanique, le mouvement est non borné : la valeur minimale de r est obtenue lorsque r'=0. Venant de l'infini et après s'être approchée du noyau la particule s'en éloigne infiniment, sa vitesse tend vers une limite Voo. A l'infini, l'énergie potentielle effective est nulle ;  l'énergie mécanique est égale à ½mV2oo. La conservation de l'énergie mécanique conduit à Voo = V0. On note la variation de la quantité de mouvement de la particule lors du phénomène de diffusion. Exprimer ce vecteur en fonction  de m, V0, q0 et du vecteur unitaire de sa direction. Montrer à partir du principe fondamental, que la variation de la quantité de mouvement de la particule entre t et t+dt peut se mettre sous la forme , où K2 est une constante que l'on exprimera en fonction de V0 et b. En déduire l'expression de tan(D/2) en fonction des données. Intégrer l'expression précédente entre -q0 et q0.

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