Concours technicien laboratoire 2011 : Principe d'un chauffe eau solaire.

Chaque année la terre reçoit du soleil 15000 fois plus d'énergie que celle nécessaire à la consommation actuelle de l'humanité. On s'intéresse dans ce problème à la récupération et à l'utilisation de l'énergie solaire dans la production d'eau chaude sanitaire pour une famille de 4 personnes habitant à Paris. Le schéma de principe d'un chauffe eau solaire est donné. Le capteur : le rayonnement solaire. Le rayonnement solaire reçu à la surface de la terre est un rayonnement électromagnétique. Le spectre du rayonnement solaire reçu à la surface de la terre est essentiellement constitué de rayonnement visible, de rayonnement infrarouge et pour une faible part de rayonnement ultraviolet. Donner l'intervalle de longueur d'onde ( dans le vide ) correspondant au rayonnement visible. A quelle borne correspond la limite du rayonnement infrarouge ? Celle du rayonnement ultraviolet ? Donner un autre exemple de rayonnement électromagnétique. Rayons X, rayons gamma, microondes. Soit f le flux énergétique ( exprimé en watt ) reçu par un capteur plan de surface S. l'éclairement énergétique E correspond au flux énergétique reçu par unité de surface de ce capteur plan et se mesure en W m-2. La constante solaire est l'éclairement énergétique d'une surface orientée perpendiculairement aux rayons solaires, située à la limite de l'atmosphère. Elle est notée E0 et est égale à 1,4 kW m-2. A la surface de la terre, la valeur de l'éclairement énergétique est inférieur à la valeur de la constante solaire. Expliquer ce phénomène. L'atmosphère absorbe une partie du rayonnement  solaire. Une autre partie est réfléchie. On considère un capteur orienté perpendiculairement aux rayons solaires. La hauteur du solail est l'angle q entre la direction du soleil et le plan horizontal. Le capteur a une inclinaison ß par rapport à la surface de la terre. La courbe donnant l'évolution de l'éclairement énergétique à la surface de la terre en fonction de la hauteur du soleil est donnée. Comment évolue l'éclairement énergétique à la surface de la terre avec la hauteur du soleil ? Pourquoi observe t-on une telle évolution ? L'éclairement croît avec la hauteur du soleil et tend vers une valeur maximale pour q = 90°. On note I l'intensité lumineuse. Hauteur du soleil et orientation du capteur. La hauteur q du soleil ( exprimée en degrés par rapport à l'horizon ) varie au cours de la journée, du fait de la rotation de la terre autour de l'axe des pôles ; sa hauteur maximale dépend de la latitude l du lieu considéré ( défini par rapport à l'équateur ) et de la saison ( position de la terre sur l'ecliptique ). On note a l'inclinaison de l'axe de rotation de la terre par rapport à la normale au plan de l'écliptique. Associer à ces 4 positions les noms suivants ( pour l'hémisphère nord ) : solstice d'hiver, solstice d'été, équinoxes. A : solstice d'été ; C : solstice d'hiver ;  B et C équinoxes. Pour les positions A et C, déterminer les hauteurs maximales correspondantes qA et qC du soleil en fonction de a et l. Pour que l'éclairement reçu soit optimal quelle que soit la saison, il faut incliner le capteur plan tel que sa normale soit dirigée vers la hauteur moyenne qmoy, moyenne de qA et qC. Exprimerl'angle d'inclinaison  du capteur ß en fonction de qmoy puis en fonction de l. ß +qmoy = 90 ; ß = 90 - qmoy ;  qmoy =½(qA + qC )  =90 -l ;  ß = l. Calculer ß. a =23° ; latitude de Paris l = 49°. ß = 49°. Dimensions du capteur. Afin d'estimer la surface S du capteur nécessaire à l'installation, on compare les besoins moyens de la famille à la productivité moyenne du capteur considéré. Les besoins annuels de la famille sont estimés à Q = 3,5 103 kWh an-1. A Paris, l'énergie solaire quotidienne reçue par unité de surface, par un capteur correctement orienté est w =3,4 kWh m-2 jour-1 ( moyenne annuelle ). Le rendement d'extraction r du capteur, défini comme le rapport de l'énergie thermique tansmise au fluide caloporteur sur l'énergie solaire reçue ( pendant la même durée ), respecte la relation : r = B -K(Tcap-Text) / E où B et K sont des constantes positives dépendant du capteur. E est l'éclairement sur le capteur en W m-2. Tcap : température moyenne du fluide dans le capteur etText : température extérieure. Comment évolue le rendement avec l'écart Tcap-Text. Expliquer cette variation. A éclairement E constant le rendement diminue si l'écart Tcap-Text augmente. La chaleur s'écoule du corps le plus chaud vers le corps le plus froid.  Ce transfert thermique est proportionnel à la différence de température. Donner l'unité SI du coefficient K. K(Tcap-Text) et E s'expriment en W m-2. La différence de température s'exprime en degré kelvin ou Celsius. K s'exprime en W m-2 degré-1. Calculer le rendement. B = 0,79 ; K = 4,89 SI ; E = 800 W m-2 ; Tcap-Text =40°C. r0 = 0,79 -4,89 *40 / 800 =0,5455 ~0,55. Par la suite on considère que le rendement reste égal à r0. En déduire l'énergie thermique transmise au fluide par m2 de capteur pendant une journée puis pendant un an. énergie thermique tansmise au fluide caloporteur  = rendement fois  l'énergie solaire reçue pendant la même durée. qj =0,5455 *3,4  =1,8547 ~1,9 kWh m-2 j-1. qan =1,8547*365 =677 ~6,8 102 kWh m-2an-1. En déduire la surface théorique S du capteur. S = Q / qan= 3,5 103 / 6,8 102 =5,2 m2. En réalité, l'utilisation permanente d'un chauffe-eau solaire nécessite l'addition d'un élément de chauffage secondaire ( ici une résistance électrique ) pour pallier les irrégularités de l'apport solaire ( couverture nuageuse ) ainsi que sa grande variabilité saisonière. Le circuit primaire. Le circuit primaire assure le transfert thermique entre le capteur solaire ( à l'extérieur ) et le réservoir d'eau chaude sanitaire ( à l'intérieur ). Le circuit primaire, étanche et calorifugé, contient une masse mp = 10 kg de liquide caloporteuur constitué d'eau glycolée ( mélange d'eau et d'éthylène glycol ). La pompe maintient la circulation du fluide. La courbe donnant la variation de la température de solidification du mélange eau-éthylène glycol en fonction de la composition massique est donnée. Mase volumique de l'eau liquide pure sous 1 bar : r(0°C) = 1,00 103 kg m-3 ; r(20°C) = 1,00 103 kg m-3 ; r(90°C) = 0,97 103 kg m-3. L'éthylène glycol est à 20°C un liquide de masse volumique r = 1,11 g cm-3. La viscosité du mélange eau-éthylène glycol est une fonction croissante du pourcentage massique w en éthylène glycol. Pour quelle raison n'utilise t-on pas de l'eau pure dans le circuit primaire ? Le circuit primaire est en partie à l'extérieur. A une température inférieure à 0°C ( l'hiver ) l'eau gèle. La température la plus froide enregistrée à Paris au cours du siècle dernier est -15°C. Proposer un pourcentage massique w en éthylène glycol  satisfaisant pour le fluide caloporteur. Pourquoi ,d'un point de vue mécanique, a-t-on intérêt à minimiser, la proportion d'éthylène glycol dans le mélange ? w =30% ( voir graphe ). La viscosité du mélange eau-éthylène glycol est une fonction croissante du pourcentage massique w en éthylène glycol. Une viscosité importante s'oppose à la circulation du fluide. Indiquer un protocol succinct permettant la préparatin à 20°C de la masse m = 10 kg de fluide caloporteur de pourcentage massique w en éthylène glycol. Masse déthylène glycol : 10*0,30 = 3,.0 kg ; volume correspondant : 3,0 / 1,11 103 =2,7 10-3 m3 = 2,7 L. Masse d'eau : 7,0 kg ; volume d'eau à 20°C : 7,0 L. Mélanger 7,0 L d'eau et 2,7 L d'éthylène glycol. Dans toute la suite du prolème, on considèrera que le fluide caloporteur est identique à l'eau pure. On envisage les variations de température du fluide caloporteur dans l'intervalle [0 °C ; 90 °C] Justifier la présence d'un vase d'expansion dans le circuit primaire et calculer son volume minimal. Le fluide se dilate ; la masse volumique de l'eau passe de 1,0 kg/L( à 20°C)  à 0,97 kg/L à 90°C. Le volume de l'eau passe de 10 L ( à 20°C ) à 10/0,97 = 10,31 L à 90°C, soit une augmentation de 0,31 L. Le stockage de l'eau. Le réservoir de stockage est constitué d'une cuve calorifugée contenant le volume V d'eau. Elle est chauffée par le circuit primaire via l'échangeur. Pour prévenir le développement de bactéries et notamment celle responsable de la légionellose qui prolifère dans les eaux chaudes stagnantes, il est intéressant de porter au moins une fois par jour, l'eau stockée à la température de commande notée TC en utilisant si nécessaire une résistance électrique. On étudie le système ( eau contenue dans le réservoir ), de température T. Lorsque T atteint la valeur T1, le chauffage d'appoint se déclenche. On note C la capacité thermique du système. On négligera les capacités thermiques de la cuve, du circuit électrique et de la résistance. La température ( constante et uniforme ) de la pièce dans laquelle se trouve la cuve est notée T0. On note Pél la puissance électrique reçue par la résistance, intégralement restituée par effet Joule lors du transfert thermique à l'eau dans le réservoir. Pour une variation élémentaire de température dT, on admet que l'on peut écrire la variation d'énergie interne dU du système sous la forme : dU = CdT. On rappelle l'expression du premier principe pour une transformation élémentaire d'un système fermé sans  travail mis en jeu, en l'absence de variation d'énergie macroscopique : dU = dQtot où dQtot représente le transfert thermique algébriquement reçu par le système. On admet que les pertes énergétiques thermiques cédées par le système à la pièce pendant la durée dt se mettent sous la forme : dQpertes = -dQreçu = a C(T-T0)dt. Quelle est lunité SI de a ? dQpertes  : joules ; (T-T0) : kelvin ; dt : seconde ; C : J K-1 ; a : s-1. Expliciter l'expression de dQtot en fonction de a, C, T, T0, Pél et dt ( l'apportsolaire étant nu par arrêt de la pompe ). dQtot  =Példt - a C(T-T0)dt. Afin d'évaluer les pertes thermiques du réservoir, on maintient la température du réservoir à la température TC grâce à l'appoint électrique ( la pompe est à l'arrêt ). On mesure la puissance électrique consommée Pél = Pmin. En déduire l'expression suivante de a : a = Pmin / ( C(TC-T0)). dU = CdT = 0 , la température est maintenue constante. dQtot  =Pmin dt - a C(TC-T0)dt = 0 ; Pmin = a C(TC-T0) ; a =Pmin / ( C(TC-T0)). On mesure Pmin = 70 W. C = meau Ceau avec Ceau = 4,18 103 Jkg-1K-1. V = 200 L ; TC =338 K ; T0 =292 K Calculer a. a =70 /(200*4,18 103(338-292)) =1,82 10-6  s-1. On envisage la situation où l'apport solaire n'a pas été suffisant en journée. La température de l'eau du réservoir vaut T1 quand le chauffage d'appoint se déclenche. La pompe est à l'arrêt. La résistance électrique reçoit la puissance électrique Pél =PM. Traduire le bilan énergétique du système pendant la durée élémentaire dt. PMdt - a C(T-T1)dt = CdT En déduire l'équation différentielle régissant l'évolution de T(t). PM / C = a (T-T1) + dT /dt PM / C +aT1 = dT /dt + aT On pose t = 1/a et f = PM / C +aT1. dT /dt +T/ t = f (2). Montrer que la fonction T(t) = A exp(-t / t) + f t est solution de cette équation. T(t) = A exp(-t / t) + f t ; dT/dt =-A / t exp(-t / t) ; repport dans (2). -A / t exp(-t / t)  + A / t exp(-t / t) + f   = f est vérifiée quel que soit le temps. T(t) = A exp(-t / t) + f t  est solution de (2). Déterminer la solution littérale correspondant à la condition initiale du problème T(0) = T1. Tracer l'allure de T(t). T(0) =T1 = A exp(0) + f t  = A + f t  ; A = T1 - f t. T(t) = ( T1 - f t )  exp(-t / t) + f t. Exprimer la durée Dt au bout de laquelle l'eau aura atteint la température de commande TC en fonction de TC, T1, f et t. Calculer Dt. On donne : V = 200 L ; C = meau ceau avec ceau = 4180 J kg-1 K-1 ; TC = 338 K ( 65°C) ; T0 = 292 K ( 19°C) ; T1 = 313 K ( 40°C) ; PM =2,5 kW ; f = 3,5 10-3 S.I ; t = 5,5 105 S.I TC = ( T1 - f t )  exp(-Dt / t) + f t. ( TC - f t) / (T1 - f t) = exp(-Dt / t). ln [( TC - f t) / (T1 - f t) ] = -Dt / t  ; Dt = t ln [( T1 - f t) / (TC - f t) ] f t = 3,5 10-3 *5,5 105  =1925 Dt = 5,5 105 ln [( 313 -1925) / (338 - 1925) ]= 8,6 103 s ~2,4 h ~2 heures 24 minutes. En déduire l'énergie électrique W consommée pour atteindre la température TC en fonction de PM et Dt. Calculer W. W = PM Dt =2,5 *2,4 = 6,0 kWh.

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