Les oscillations dans le haut-parleur : bac S Nlle Calédonie 03/2011

La partie mécanique d'un haut-parleur électrodynamique est constituée d'une membrane mobile, solidaire d'un cylindre creux sur lequel est enroulé le fil d'une bobine de cuivre. L'ensemble, appelé équipage mobile possède une masse totale m et est astreint à se déplacer selon l'axe x'x. La suspension est modélisée par un ressort de constante de raideur k, de longueur à vide L0 pouvant travailler nb extension comme en compression. Etude théorique du mouvement de l'équipage mobile en absence de frottement. L'équipage mobile modélisé est constitué par un solide S de masse m, de centre d'inertie G, assujetit à se déplacersans frottement sur une tige horizontale. Ce solide est attaché à un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k. La position du solide est repérée par l'abscisse x de son centre d'inertie G sur un axe Ox. La position du point G à l'équilibre correspond à l'origine O des abscisses. Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre suposé galiléen. Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le solide S à la date t. représenter ces forces sur un schéma simplifié, sans souci d'échelle. Le solide S est soums à son poids P, à l'action de la tige opposée au poids et à une force de rappel exercée par le ressort.. Rappeler l'expression vectorielle de la force de rappel du ressort.. voir le schéma. En appliquant la seconde loi de newton au solide, vérifier que l'équation différentielle du mouvement relative à l'anscisse x du centre d'inertie G du solide à la date t paut se metre sous la forme  x" +k / m x 0. Une solution de l'équation différentielle précédente est de la forme  x(t) = Xm cos ( 2p t / T0 ) où Xm est une constante. Montrer que l'expression de la période T0 de l'équipage mobile est : T0 = 2p (m/k)½. w02 =k / m et de plus w0 = 2p / T0. Par suite  : T0 = 2p / w0 = 2p (m / k) ½. Par analyse dimensionnelle, vérifier l'homogénéité de l'expression de la période. période : [ s ] ; 2p est sans dimension La raideur k est en newton divisée par des mètres : [N] [m]-1. une force (newton) est une masse (kg) fois une accélération (m/s²) d'où l'unité de k : [kg] [m] [s]-2 [m]-1 soit [kg] [s]-2 (masse / raideur) : [kg] [kg] -1[s]2 soit [s]2 racine carrée ( m/k) : [s] Etude expérimentale du mouvement de l'équipage mobile. On se propose de déterminer expérimentalement la masse m de l'équipage mobile et la constante de raideur k du ressort modélisant la suspension du haut-parleur. Une interface d'acquisition préalablement paramétée est reliée aux bornes de la bobine du haut-parleur étudié. La membrane étant initialement au repos, on frappe légerement  avec un doigt son dôme d'un coup unique et rapide, puis on déclenche l'acquisition. Après traitement informatique des donnés on obtient sur la figure suivante les variations au cours du temps de l'abscisse x du centre d'inertie G de l'équipage mobile. Quelle est la nature des oscillations observées et quel est le nom du régime qui leur est associé ? Les oscillations sont sinusoïdales amorties. Le régime est pseudo-périodique. Interpréter l'évolution temporelle de l'amplitude des oscillations. L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps du fait des frottements.  Déterminer la valeur de la pseudo-période T des oscillations et en déduire, dans l'hypothèse d'un amortissement faible, la valeur de la fréquence propre f0 de l'équipage mobile. Voir figure ci-dessus : T ~0,10 / 5 =0,020 s ; f0 = 1/T =  5/0,10 = 50 Hz. Afin de déterminer la masse m de l'équipage mobile, on fixe au dôme de la membrane une masse additionnelle m' = 10 g. La fréquence propre de l'ensemble ( équipage mobile + masse additionnelle ) devient alors f '0 = 45 Hz. Exprimer la fréquence propre f '0 en fonction de m, m' et k. Dans l'expression de f0 remplacer m par m+m'. T0 = 2p (m / k) ½ ; f0 = 1/T0 = 1 / (2p) (k / m) ½ ; f '0 =  1 / (2p) (k / (m+m')) ½ . En comparant les expressions littérales des fréquences propres f0 et f '0, montrer que la masse de l'équipage mobile est : . Cette expression permet de calculer m. Dans la suite, on prend m = 40 g. Exprimer la constante de raideur k du ressort en fonction de f0. En déduire la valeur de k. On donne p2 ~10. Après avoir déconnecté l'interface d'acquisition, on branche aux bornes du haut-parleur un générateur basses fréquences ( GBF) qui impose un signal sinusoïdal de fréquence f et d'amplitude non nulle constante. A quelle type d'oscillations est soumis l'équipage mobile du haut-parleur ? Identifier dans le montage réalisé le résonateur et l'excitateur. L'équipage mobile, le résonateur, est soumis à des oscillations forcées. L'excitateur est le GBF. En admettant que l'amortissement est suffisamment faible, qu'observe t-on lorsque f est voisine de f0 ? Quel est le nom de ce phénomène ? On observe un phénomène de résonance. L'amplitude de l'équipage mobile passe par une valeur maximale.

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