Le saut à l'élastique , le laser Mégajoule : bac S Inde 2011.
Première
phase du saut à l'élastique :
Le
sauteur et son équipement, de masse m =84,0 kg, se laisse tomber sans
vitesse initiale d'un pont dont le plateau se trouve à une
hauteur h = 270 m du sol.
On peut considérer que le volume du sauteur et de son équipement est :
V = 0,25 m3.
Par ailleurs l'ensemble des actions exercées par l'air, outre la
poussée d'Archimède, sur le sauteur peut être modélisée par une force
de frottement dont la valeur f est proportionnelle au carré de la
vitesse acquise : f = µ v2 où µ = 0,78 S.I.
On donne la masse volumique de l'air r
= 1,3 kg m-3 et g = 9,8 m s-2. Montrer que la
poussée est négligeable devant le poids.
P = mg = 84,0 *9,8 =823,2 ~8,2 102 N.
Poussée : r V g = 1,3 *0,25
*9,8 =3,2 N, valeur négligeable devant la valeur du poids ( 823 N). A partir d'une
analyse dimensionnelle, déterminer l'unité de la constante µ dans le
système internationnal. µ = f /v2
; F : force = masse * accélération = masse * longueur /
temps2. [f] =M L T-2.
vitesse = longueur / temps : [1 / v2] = T2 L-2.
[µ] =M L-1. ( kg m-1 ).
Ecrire
dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la seconde loi de
Newton appliquée au système S. Que devient cette relation projetée sur
un axe vertical orienté vers le bas ?
L'équation
différentielle vérifiée par la vitesse v(t) peut se mettre sous la
forme dv/dt + Bv2 = A, où A et B sont des constantes. Quelles sont les
unités de A et B ? déterminer A et B en fonction des données et
vérifier que B = 9,3 10-3 S.I. A = g : a la dimension d'une
accélération ( m s-2).
B = µ / m a la dimension de l'inverse d'une longueur ( m-1).
B = 0,78 / 84,0 =9,3 10-3 m-1. En déduire
l'expression de la vitesse limite en fonction de m, g et µ et calculer
sa valeur.
dvlim/dt = 0 ; Bv2lim = A ; vlim
= (A/B)½ = (mg/µ)½ = (84*9,8 / 0,78)½
=32,46 ~32 m/s.
La résolution de l'équation différentielle est obtenue par la méthode
d'Euler. On donne un extrait de la feuille de calcul :
t(s)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
v(m/s)
0,00
1,96
3,92
5,85
...
9,60
11,4
Quel est
le pas Dt ? Dt = 0,20 s.
On donne : Déterminer
la vitesse v (t = 0,80) absente dans le tableau. On note
v(t=0,80) = v.
[dv/dt]0,80 =A-B v2 = 9,8 -9,3 10-3v2
v(t=1,00 ) = v(t=0,80) +[9,8 -9,3 10-3v2]*0,20
9,6 = v + 1,96 -1,86 10-3 v2 ; v2
-537,6 v + 4108=0. D =2,72 105
; v = (537,6 -522) / 2 = 7,75
m/s. Autre méthode :
[dv/dt]0,60 =A-B v20,60 = 9,8 -9,3 10-3*5,852=9,4817 m s-2.
v(t=0,80) = v(t=0,60) + [dv/dt]0,60Dt =5,85 +9,4817*0,20 =7,75
m/s. Deuxième partie
du saut.
A
partir de la date t = 5,0 s, le sauteur remonte sous l'action de
l'élastique puis oscille verticalement pendant 40 s, effectuant 4
allers et retours.
Comment qualifie t-on de telles oscillations ? Justifier. Calculer le
temps caractéristique T associé aux oscillations et le nommer.
Les oscillations sont pseudopériodiques, libres ( amortissement :
frottement sut les couches d'air ).
La pseudo-période T ( durée d'un aller et retour ) est égale à : T = 40
/ 4 = 10 s. Si on assimile
l'élastique à un ressort de raideur k relié à une masse m, quelle est
l'expression de la période propre T0 des oscillations libres
? T0
= 2 p (m / k)½. Calculer T0 et interpréter la
différence observée entre les valeurs de T et T0. On donne k
= 38,0 N/m. T0
= 2*3,14 ( 84/38)½ =9,34 ~9,3 s.
L'écart relatif entre T et T0 est : (10-9,3) / 10 ~0,07 ( 7
%).
T et T0 sont très proches, dans le cas d'un amortissement
faible. Un écart de 7 % indique un amortissement important.
Le laser Mégajoule.
Dans
une cavité en or de quelques millimètre de long, on place une
microbille contenant quelques dixièmes de milligrammes d'atomes de la
famille de l'hydrogène : 0,40 mg de deutérium et une masse m de
tritium. Les faisceaux laser de longueur d'onde l =
351 nm convergent dans la cavité en émettant une énergie de 1,8 MJ et
sont absorbés par les parois qui jouent le rôle d'un four. Dans la
micro bille, de la taille d'un grain de riz, la température et la
pression augmentent jusqu'à atteindre les conditions de la fusion. A ce
stade, la matière est un mélange d'atomes, d'ions et d'électrons. Grâce
à une intense agitation thermique au centre de la micro bille, les
noyaux de même charge électrique de deutérium et de tritium, qui
naturellement se repoussent, viennent en contact et fusionnent dans un
temps très court pour former de l'hélium en libérant un neutron.
En se produisant simultanément un grand nombre de fois, cette réaction
libère un fort dégagement d'énergie.
D'après http;//aquitaine.unicnam.net/spip.php?article13. Questions générales sur la radioactivité. Donner la nature de l'interaction dont il est question dans l'extrait suivant " les noyaux de même charge électrique de deutérium et de tritium, qui naturellement se repoussent..." Des charges électriques de même signe se repoussent : interaction électrique de Coulomb. Rappeler la nature de l'interaction assurant la cohésion du noyau. L'interaction forte assure la cohésion du noyau.
Le deutérium et le tritium sont des noyaux radioactifs. Qu'est ce qu'un noyau radioactif ?
Un noyau radioactif est un noyau instable dont la désintégration
(destruction) aléatoire s'accompagne:
L'apparition d'un nouveau noyau
L'émission d'une particule notée a, b - ou b + L'émission d'un rayonnement électromagnétique noté g. Donner la composition des noyaux de tritium et de deutérium. Comment nomme t-on de tels noyaux ?
Deutérium 21H : 1 proton et 2-1 = 1 neutron ; tritium 31H : 1 proton et 3-1 = 2 neutrons.
Deutrium et tritium sont des isotopes. Le noyau de tritium est radioactif ß-.
Ecrire l'équation de désintégration en rappelalt les lois de conservation utilisées. 31H ---> AZX + 0-1e.
Conservation de la charge : 1 = Z -1 d'où Z = 2 ( élément hélium ).
Conservation du nombre de nucléons : 3 = A +0 d'où A = 3. 31H ---> 32He + 0-1e.
Le noyau de tritium a une demi-vie t½ = 12 ans. Une source contient N0 =6,02 1023 noyaux de tritium à la date t=0. Combien en contient-elle à la date t=6 ans ?
Loi de décroissance radioactive : N = N0 exp(-l t) avec l = ln2 / t½ =ln2 / 12 =5,776 10-2 an-1.
N =6,02 1023 exp(-5,776 10-2 *6) ~4,3 1023 noyaux. A quel domaine des ondes électromagnétiques, la radiation émise ( l =351 nm) par les lasers étudiés appartient-elle ?
Une radiation de longueur d'onde dans le vide égale à 351 nm appartient au domaine ultraviolet UV. Exprimer puis calculer la différence d'énergie DE de la transition à l'origine du rayonnement laser en fonction de h, c et l. DE = hc/l = 6,62 10-34 * 3,00 108 / 351 10-9 =5,66 10-19 J.
Etude de la réaction de fusion :
Les noyaux de deutérium et de tritium fusionnent en donnant un noyau d'hélium et en libérant un neutron. Ecrire l'équation de la réaction de fusion mise en oeuvre. 31H + 21H---> 42He + 10n. Quelle
masse m de tritium doit-on mettre dans la micro bille pour que
les 0,40 mg de deutérium soient totalement consommés lors de la
réaction de fusion ? Quantité de matière de deutérium : n = 0,40 10-3 / 2 = 0,20 10-3 mol.
Quantité de matière de tritium : n = 0,20 10-3 mol.
Masse de tritium : m = n M == 0,20 10-3 *3 =0,60 10-3 g = 0,60 mg. Exprimer l'énergie libérée par cette fusion en fonction des masses des noyaux et des particules mis en jeu.Calculer cette énergie en joule et en mégaélectronvolt ( MeV). Dm = m(10n) + m(42He) - m(21H) - m(31H) ; E =Dm c2. Dm =1,00866 +4,00150-2,01355-3,01355 =-1,694 10-2 u. -1,694 10-2 *1,66054 10-27 =-2,812955 10-29 kg. E =-2,812955 10-29 *(3,00 108)2= -2,53166 10-12 ~ -2,53 10-12 J. -2,53166 10-12 / 1,60 10-19 = -1,58 107 eV = -15,8 MeV. Le signe moins traduit le fait que cette énergie est cédée par le système à l'extérieur. Calculer ( J) l'énergie libérée par la réaction de fusion impliquant 0,40 mg de deutérium. Nombre de noyaux de deutérium : N = 0,40 10-3 / M(deutérium ) *NA.
N = 0,40 10-3 / 2 * 6,02 1023 =1,204 1020 noyaux. 2,53166 10-12 *1,204 1020 =3,048 108 ~3,0 108 J = 3,0 102 MJ.
Cette énergie est très supérieure à l'énergie de déclenchement de la fusion ( 1,8 MJ). D'où l'intérêt de ce dispositif.
