Mouvement d'un point matériel sur un rail circulaire : concours Mines  2010

Mouvement d’un point matériel sur un rail circulaire. Un petit objet assimilé à un point matériel M, de masse m, peut glisser sans frottement le long d’un rail ayant la forme d’un demi-cercle de centre O et de rayon R, placé dans un plan vertical. Le rail est d’abord supposé fixe par rapport au référentiel terrestre ℜ galiléen. On repère la position du point M à l’instant t par l’angle θ. À l’instant t = 0, l’objet est lancé du point M0 avec une vitesse v0. Dans tout le problème, on utilisera une base de projection polaire (er ; eq). On prendra pour valeur de l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s-2. Faire l'inventaire des forces appliquées à M et le représenter ; préciser les composantes de ces forces dans la base polaire. Le mobile est soumis à son poids et à l'action du support. En déduire l'équation différenteile à laquelle satisfait la fonction q(t). On suppose que la norme v0 du vecteur vitesse initial est suffisamment faible pour que la condition |q(t)|<<1 rad soit satisfaite à chaque instant. Déterminer complètement l'expression de q(t) en fonction de v0, R g et t. sin q ~q exprimé en radian. R d2q/dt2 + gq = 0. Solution générale : q = A sin((g/R)½ t + j), A et j étant des constantes. q(0) = 0 = A sin j ; A n'étant pas nul, alors j = 0. vitesse : v = Rdq/dt = (gR)½A cos((g/R)½ t) ; vitesse initiale : v0 = (gR)½A ; A = v0(Rg)-½. q = v0(Rg)-½ sin((g/R)½ t ). On suppose à partir de maintenant que le point M subit au cours de son mouvement une force de frottement fluide , où λ est une constante positive et v le vecteur vitesse du point M à l’instant t. La condition |q(t)|<<1 rad est satisfaite à chaque instant. Établir la nouvelle équation différentielle satisfaite par la fonction θ(t).   Les grandeurs m, g et R étant fixées, donner la condition portant sur λ pour que le mouvement soit pseudo-périodique. Equation caractéristique associée à l'équation différentielle : r2 +l/m r +g/R =0. (1) Le discriminant D doit être négatif pour avoir un mouvement pseudo-périodique : D = (l/m)2 -4g/R ; (l/m)2 <4g/R  ; l/m < 2(g/R)½ ; l < 2m(g/R)½ ; On suppose cette condition réalisée. Exprimer θ sous la forme q(t) = A exp(-t/t) sin(Wt).  On justifiera soigneusement l’établissement de cette relation et on exprimera A,τ et Ω en fonction de v0, m, g, R et λ. On pose w02 = g/R ; D = 4(l / (2m))2 -4w02 ; on pose W2 = [w02 -(l / (2m))2 ] ; par suite D = 4 j2W2 avec j2 = -1. Solution de (1) : r1 = -l / (2m) +jW ; r2 = -l / (2m) -jW ; Les solutions de l'équation différentielle sont donc : q(t) = Aexp(r1t) + B exp(r2t)avec A et B des constantes. q(t) =exp(-l t/ (2m)) [A exp( jW t)+ Bexp( -jW t)]. Cette solution peut s'écrire sous la forme : q(t) = C exp(-l t/ (2m)) sin (Wt+F) avec C et F des constantes déterminées par les conditions initiales. q(0) = C sin (F) = 0 d'où F = 0. La vitesse initiale est égale à v0  = Rq'(0) ; q'(t) = -C l / (2m) exp(-l t/ (2m)) sin (Wt) + C Wexp(-l t/ (2m))cos (Wt) v0  = Rq'(0) = R C W ; C = v0  /(R W). q(t) =  v0  /(R W) exp(-l t/ (2m)) sin (Wt) avec t = 2m / l.   L’allure de la courbe représentative des variations de la fonction q(t) est donnée ci-dessous. On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension d = ln (q(t) / q(t+T)], où T désigne la pseudo-période.  Exprimer λ en fonction de δ, m et T. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de T et δ. En déduire celle de λ (sans omettre de préciser son unité), sachant que m = 100 g. q(t) =  v0  /(R W) exp(-t/ t) sin (Wt) ; q(t+T) =  v0  /(R W) exp(-(t+T)/ t) sin (Wt) ; q(t) / q(t+T) = exp(-t/ t)  / exp(-(t+T)/ t) = exp(T/ t). d =T/ t avec t = 2m / l. d =T l / (2m) soit l = 2 m d / T. l = 2 m d / T = 0,2 ln 2 / 4 10-3 =34,6 ~35 kg s-1. Le rail est maintenant mis en rotation uniforme autour de l’axe (OM0) à la vitesse angulaire ω. On néglige de nouveau les frottements.  Le référentiel ℜ' lié au rail est-il galiléen ? Justifiez votre réponse. Le référentiel  lié au rail n'est pas animé d'un mouvement de translation uniforme par rapport au référentiel du laboratoire. ce référentiel R' n'est donc pas galiléen. Comment s’écrit la relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen ? On précisera soigneusement le nom de tous les termes introduits dans sa nouvelle expression. L’objet était initialement en M0 (θ0= 0). Après une phase transitoire lors de la mise en rotation du rail, il se stabilise en θeq = p/3.  Donner l’expression littérale des forces d’inerties dans cette situation. Fie = m w2 HM avec H projection de M sur l'axe de rotation ; HM = R sin θeq Fie = m w2 R sin θeq. Exprimer ω en fonction de g, R et θeq. Calculer ensuite ω pour R = 20 cm. tan θeq =  Fie / mg = w2 R sin θeq/ g ;  w2 R sin θeq/ g  = sin θeq/ cos θeq ; w2 R / g = 1/ cos θeq ; w2  = g / (Rcos θeq ) ; w  = [g / (Rcos θeq ) ]½. w  = [10 / (0,2cos p/3 ) ]½ = 10 rad/s.

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