Thermodynamique : isobare et isochore : concours itpe

Exercice 1. Un gaz parfait est contenu dans un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement. Les transformations représentées sur le diagramme sont quasi-statiques. P1 = 1 bar ; T1 = 283 K ; V1 = 120 L. Sur le chemin ACB les chaleurs et le travail échangés valent, en valeur absolue, respectivement 17,3 kJ et 1,41 kJ. Préciser les signes de WACB et  de QACB. La transformation C--> B est  une isochore ( volume constant )  : le travail élémentaire des fores de pression est dW = - PdV =0 ( car V est constant) La transformation A-->C est une isobare : WAC = -P1(V2-V1), négatif. WACB est donc négatif : le gaz fourni du travail. La loi des gaz pafait conduit  à : en A : P1V1 = nRT1  ; en C : P1V2 = nRT2  ; nRT1 /V1 = nRT2 /V2 ; V2 > V1 conduit  à T2 > T1. en B : P2V2 = nRT3  ; nRT2 /P1 = nRT3 /P2 ; P2 > P1 conduit  à T3 > T2. La variation d'énergie interne du gaz vaut :  DUAC = Cp( T2- T1), positive ; DUCB = Cv( T3- T2), positive ; de plus : DUACB = WACB + QACB ; par suite QACB est positif. Variation de l'énergie interne du gaz. DUACB = WACB + QACB = -1,41 + 17,3 =15,89 kJ~15,9 kJ. Selon le chemin ADB, on doit fournir au gaz une chaleur de 17,85 kJ. Quel est le travail échangé avec l'extérieur ? L'énergie interne est une fonction d'état ; sa variation ne dépend que de l'état initial et de l'état final : DUACB =DUADB = WADB + QADB = 15,89 kJ QADB = +17,85 kJ WADB =15,89-17,85 = -1,96 kJ. Calculer la pression P2 et  le volume V2 dans l'état B. WAC =WACB = -P1(V2-V1) = -1,41 kJ = -1410 J P1 = 1 bar =105 Pa ; V1 = 120 L = 0,12 m3. V2-V1 =1410 / 105 = 1,41 10-2 m3 ; V2= 0,12 + 1,41 10-2  = 0,1341 m3 ~134 L. La transformation A--> D est  une isochore ( volume constant )  : le travail élémentaire des fores de pression est dW = - PdV =0 ( car V est constant) La transformation D-->B est une isobare : WDB = -P2(V2-V1)= -1,96 kJ = -1960 J. P2= 1960 / 1,41 10-2 =1,39 105 Pa = 1,39 bar. Quel est entre A et B la variation molaire d'énergie interne ? P1V1 = nRT1  ; n = P1V1 /( RT1 ) =105*0,12 / (8,31*283) =5,10 mol. DUACB =15,89 kJ  ; par suite : 15,89 / 5,10 = 3,12 kJ mol-1.     On ne sait plus quelle bouteille de gaz on a utilisé pour remplir le cylindre. On hésite entre azote et hélium. D'après le résultat précédent peut-on déterminer la nature du gaz ? On donne en  J K-1 mol-1 : Cv(He) = 1,5 R et Cv(N2) = 2,5 R. DUAC = Cp( T2- T1)  ; DUCB = Cv( T3- T2) ; DUACB = DUAC +DUCB = Cp( TC- T1)  + Cv( TB- TC)= 3,116 103 J mol-1. TC = P1V2/(nR) =105*0,1341 /(5,10*8,31) =316,4 K TB = P2V2/(nR) =1,39 105*0,1341 /(5,10*8,31) =439,8 K TC- T1= 316,4-283 = 33,4 K ; TB- TC =439,8-316,4 =123,4. Par suite : 33,4 Cp  + 123,4 Cv= 3,12 103 ; Relation de Meyer : Cp  - Cv = R. 33,4 (R + Cv ) + 123,4 Cv= 3,116 103 ; 277,5 + 156,8 Cv= 3,12 103 ; Cv= 18,12  ; diviser par R  =8,31 SI ; Cv =2,2R.( diazote  N2 )   .   .

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