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Champ magnétique crée par un segment.
On considère un segment de fil de longueur L, parcouru par un courant I.
Calculer le champ magnétique au point P.
L'élément
de courant Idl crée en P un champ magnétique élémentaire dB,
perpendiculaire au plan formé par Idl et MP, orienté vers l'avant du
plan.
tan q = MH /HP ; MH = HP tan q ; dériver dMH = dl = HP dq / cos2q.
De plus : sin g = cos q, et r = HP / cos q, d'où :
dl sin g / r2 = HP cos q dq .
Même question si le fil est infiniment long.
Les angles a et b sont orientés dans le sens du courant : a est positif et b est négatif.
a tend vers ½p et b tend vers -½p, d'où :
B = µ0I / ( 2 p X).
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Champ magnétique crée au centre d'un triangle équilatéral.
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Champ magnétique crée en C par l'élément de courant AB :
C
est le point de concours des hauteurs, donc des médianes, des
médiatrices du triangle équilatéral ; CH est égal au tiers de la
médiatrice OH :
On note L la longueur du côté du triangle équilatéral : OH=AB sin 60 = L sin 60 ; CH = L sin 60 / 3.
BAB= 3µ0I / ( 2 p L).
Le calcul est identique pour les champs magnétiques crées par les côtés OA et OB.
Ces champs sont perpendiculaires au plan de la figure et orientés vers l'avant : Btotal = 3 BAB.
Btotal= 9µ0I / ( 2 p L).
Spirale logarithmique.
Soit une spirale logarithmique d'équation polaire OM = r = r0 exp(mq) avec m une constante. Elle est parcourue par un courant d'intensité I, dirigé de son centre O vers l'infini.
Calculer le champ magnétique crée par une partie de cette spirale comprise entre q1 et q2, en O.
L'angle tangentiel polaire Y reste constant (non droit) : m = cot Y.
L'élément
de courant Idl crée en O un champ magnétique élémentaire dB,
perpendiculaire au plan formé par Idl et OM, orienté vers l'avant du
plan.
L'abscisse curviligne est OM = s = r / cos Y = r0 exp(mq) / cos Y.
Dériver : ds = dl = r0 m exp(mq) / cos Ydq.
dl sin Y = r0 m exp(mq) tan Ydq ; or m tan Y= cot Y tan Y=1.
dl sin Y = r0 exp(mq) dq ;
dl sin Y /r2 = exp(-mq)/ r0 dq.
Puis intégrer entre q1 et q2 :
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