Bilan énergétique d'un circuit électrique.

Energie totale fournie par un générateur : W= E I t avec E : fem du générateur, I : intensité et t : durée ) Energie utile d'un récepteur actif : W = e i t avec e : fcem du récepteur ). Energie dissipée en chaleur dans un conducteur : W = RI2 t. Energie totale consommée par un récepteur actif : W = U I t = e I t + rI2t avc U : tension aux bornes du récepteur. Energie disponible aux bornes d'un générateur : W = UIt =EIt-rI2t. ( r : résistance interne du générateur ; U : tension aux bornes du générateur ). Le dégagement de chaleur qui accompagne le passage du courant dans un conducteur s'appelle effet Joule. Tout dispositif protégeant une installation électrique contre un incendie s'appelle  un fusible ou encore un disjoncteur. Les radiateurs électriques transforment de l'énergie électrique en énergie thermique ( chaleur). Pour libérer une valence-gramme d'un métal par électrolyse il faut une quantité d'électricité égale à 1 faraday ( 96500 coulomb). Un moteur ou un électrolyseur ( récepteur actif) est un appareil qui reçoit de l'énergie électrique et la transforme en énergie thermique et en énergie utile ( mécanique ou chimique). Un moteur électrique qui fonctionne se comporte comme un récepteur actif. Deux fils de maillechort de même section ont respectivement pour résistance R et R'. La longueur L de R est trois fois plus petite que la longueur L' de R'. Le rapport R/R' est égal à L/L' = 1/3 ( la résistance est proportionnelle à la longueur ). Un conducteur de résistance R= 2 ohms est soumis à une tension U = 100 V. La puissance consommée par le conducteur est : UI = U2/R = 1002 / 2 = 5000 W. Bilan de puissance d'un générateur : puissance chimique stockée = puissance disponible + puissance thermique EI = UI + rI2 soit E = U+rI ou U = E-rI. Electrolyseur. Les électrodes sont en cuivre : MCu = 64 g/mol ; valence du cuivre n = 2. On obtient 2,5 g de cuivre au bout de 32 min 10 s. Calculer la puissance dépensée par effet Joule dans l'électrolyseur. PJ = r'I2 avec r' = 2 ohms, résistance interne de l'électrolyseur. Quantité de matière de cuivre : n = m/M = 2,5 / 64 = 0,039 mol. Quantité de matière d'électron n(e-) = 2 n =0,0781 mol. Quantité d'électricite Q = n(e-)F = 96500 * 0,0781 = 7539 C Or Q = I Dt avec Dt = 32*60+10 =1930 s. I= Q / Dt = 7539 / 1930 =3,9 A. PJ = r'I2 = 2*3,92 =30,4 W.       Calculer la longueur du fil CD ( r = 62,8 10-8 W m ; d = 0,2 mm ). R2 = r L / S avec S = pd2/4 = 3,14*(10-4)2 =3,14 10-8 m2 et R2 = UCD / I = 20 / 3,9 = 5,128 ohms. L =R2 S / r = 5,128 *3,14 10-8 /  62,8 10-8=0,256 m ~0,26 m. Calculer l'énergie perdue dans le générateur en 5 min. W = r I2 t avec t = 5*60 = 300 s ; I = 3,9 A. Dans l'hypothèse où r = 1 ohm : W = 1*3,92*300=4563 J ~ 4,6 kJ. Calculer le rendement du générateur. h = U/E avec U : tension aux bornes du générateur. U = E-rI = 36-1*3,9 = 32,1 V ; h = 32,1 / 36 = 0,89. Aux bornes d'un groupement constitué de 3 séries de 4 éléments identiques ( e' =1,5 V ; r' = 0,6 ohm  ) on a placé en série : - un électrolyseur de résistance R1 = 1,2 ohms contenant de l'acide sulfurique avec électrode de platine - une résistance R2 = 2 ohms plongeant dans un calorimètre en laiton pesant 220 g de chaleur massique 0,1 J K-1 g-1 et contenant du pétrole de chaleur massique 0,5 J K-1 g-1. A la cathode du voltamètre ( électrolyseur ) on obtient 112 mL d'un gaz au bout de 16 min 5 s. En 20 min la température du calorimètre s'élève de 4°C. Calculer : la masse de pétrole dans le calorimètre. Fem du générateur E = 4 e' = 4*1,5 = 6 V ; résistance interne du générateur : r = 4r'/3 =4*0,6/3 =0,8 ohm. Quantité de matière de gaz ( dihydrogène ) n = V / Vm = 0,112 / 22,4 =0,005 mol ; H+ + 2e- = H2(g) : quantité de matière d'électrons : n(e-) = 2*0,005 = 0,01 mol. Quantité de matière d'électricité : Q = n(e-)F = 0,01*96500 = 965 C. Or Q = I Dt avec Dt = 16*60+5 =965 s ; par suite I = 1 A. Tension aux borne du générateur : U = E-rI = 6-0,8 = 5,2 V. Tension aux bornes de R2 : UR2 = R2I =2*1 = 2 V. Energie consommée par R2 : W = UR2 I t avec t = 20*60 = 1200 s ; W =  2*2*1200=4800 J. Energie gagnée par le laiton : Q1 =mlaiton claiton Dq = 220*0,1*4 = 88 J. Energie gagnée par le pétrole : Q2 =mpétrole cpétrole Dq = mpétrole*0,5*4 = 2 mpétrole. En négligeant les pertes thermiques vers l'extérieur : W = Q1+ Q2 ; 4800 = 88 + 2mpétrole ; mpétrole= 2356 g ~2,4 kg. la puissance absorbée par l'électrolyseur. Tension aux bornes de l'électrolyseur : Ue =U-UR2 =5,2-2 = 3,2 V Puissance absorbée  Ue I=3,2*1 = 3,2 W.   la répartition de la puissance absorbée par l'électrolyseur. Puissance thermique Pj = R1I2 =1,2*1= 1,2 W. Puissance chimique : 3,2-1,2 = 2 W. le rendement du générateur. h = U/E = 5,2 / 6 = 0,87. On remplace l'électrolyseur à électrodes de platine par un autre électrolyseur à électrodes de cuivre et contenant du sulfate de cuivre. La résistance de cet électrolyseur est R= 2,2 ohms. Calculer l'énergie perdue dans chaque élément du groupement en une minute. Fcem de l'électrolyseur à électrodes de cuivre identiques E' = 0 V. Intensité du courant : I = E/ ( R2+R+r) = 6 / (2+2,2+0,8) =1,2 A. Energie perdue dans le générateur en 60 s : W = rI2t =0,8*1,22*60 =69,12 ~69 J. Chaque élément est traversé par une intensité de 1,2 / 3 = 0,4 A : énergie perdue dans un élément en 60 s : 0,6*0,42*60 =5,76 ~5,8 J. La masse de zinc usée dans le groupement en 32 min 10 s ( MZn = 66 g/mol; n = 2 ). Q= IDt avec Dt = 32*60+10 =1930 s ; Q = 1,2*1930 =2316 C. Quantité de matière d'électron : n(e-) = Q / 96500 = 2316/96500 =0,024 mol. Quantité de matière de zinc : nZn = n(e-) / n = 0,024 / 2 = 0,012 mol Masse de zinc : m = nZn MZn = 0,012 *66 =0,79 g.   Quand le moteur est calé : I = 6 A ; quand le moteur travaille I = 2 A.Dans ce dernier cas, calculer : La puissance du moteur. Résistance équivalente à R1 et R2 : R =3*7/10 = 2,1 ohms. La fcem de l'électrolyseur est nulle ( électrodes identiques en cuivre). Quand le moteur est calé, sa fcem est nulle ; par suite I = E /( r +R +R3+r') avec r' : résistance interne du moteur. r' = E/I -r +R +R3 = 36 / 6 -1-2,1-1,9 = 1 ohm. Quand le moteur travaille : I = (E-e') /( r +R +R3+r') avec '' : fcem du moteur. e' = E-( r +R +R3+r')I =36-6*2 = 24 V. Puissance consommée par le moteur qui travaille : P = UI = e'I + r'I2 =  24*2 +1*22 =52 W. Le rendement du moteur. h = e'/U avec u = e'+r'I = 24+1*2 = 26 V ; h = 24/26 =0,92. l'énergie reçue par le moteur en 1 min 40 s. W = P t = 52 *(60+40) =5200 J = 5,2 kJ. Masse de cuivre déposée dans l'électrolyseur en 16 min 5 s. Q= IDt avec Dt = 16*60+5 =965 C. Quantité de matière d'électron n(e-) = Q / 96500 = 965 / 96500 = 0,01 mol. Quantité de matière de cuivre nCu = n(e-) / 2 = 0,005 mol. Masse de cuivre : m = nCu MCu=0,005*64 =0,32 g. La puissance perdue par effet Joule dans R2. Intensité I1 du courant dans R1 : 3 I1 = 7 I2 et 2 = I1+I2. 3 I1 = 7(2-I1) ; I1 = 1,4 A ; I2 = 0,6 A. PJ = R2I22 =7*0,62 =2,52 W. Le rendement du générateur. h = UG/E ; UG = E-rI =36-2 = 34 V. h =34/36 =0,94. On remplace R2 par R5. La nouvelle intensité est 2,4 A. Calculer R5. Quand le moteur travaille : I = (E-e') /( r +R' +R3+r') avec R' : résistance équivalente à R1 et R5. R' =(E-e')/ I-r-r'-R3 =(36-24)/2,4 -1-1-1,9 =1,1 ohms. R' = R1R5 / (R1+R5) ; 1,1 =3R5 / (3+R5) ; R5 =1,74 ohms ~1,7 ohms. Aux bornes d'un groupement constitué d'éléments identiques, chacun de fem e=1,5 V et de résistance r' =0,5 ohm, on a placé une dérivation composée de deux branches : -sur la première branche une résistance R1 = 6 ohms plongée dans un calorimètre de valeur en eau 324 g ; - sur la seconde branche on branche un moteur de résistance RM = 2 ohms. Quand le moteur est bloqué, en 10 min, la variation de température dans le calorimètre est  de 6°C et l'énergie perdue dans un élément du groupement pendant le même temps est 675 J. Le rendement du générateur est de 50 %. Calculer le nombre d'éléments du groupement. Energie reçue par le calorimètre : Q = m ceau Dq = 0,324 *4180*6 =8126 J. D'autre part Q = U I1 t = R1I12t avec U tension aux bornes d'une des dérivations, I1 : intensité traversant R1 et t = 600 s. 8126 = 6 *600  I12 ; I12 = 2,25 7 ; I1 =1,5 A. On note I2 l'intensité traversant le moteur : I2 RM = I1 R1 ; 2 I2 = 6 I1 ; I2 = 3 I1  = 4,5 A. Loi des noeuds : I = I1 + I2 =4 I1 = 6 A. I : intensité délivrée par le générateur. L'énergie perdue dans un élément du groupement pendant le même temps est 675  = r' I'2 t  = 0,5*600* I'2 ; I'2  = 675/300 =2,25 ; I' = 1,5 A. I = 6A ; I' = 1,5 A : donc 4 branches identiques en dérivation comptant chacune n éléments en série. tension aux bornes d'une branche : U = I1 R1 = 1,5*6 = 9 V. Le rendement du générateur étant de 50 % : U/E = 0,5 avec E fem du groupement. E = U /0,5 = 9/0,5 = 18 V. Par suite n = 18/1,5 = 12 éléments. Quand le moteur travaille, le rendement du générateur est de 75 %. Calculer le rendement du moteur. U/E = 0,75 avec E = 18 V ; U = 0,75*18 =13,5 V. tension aux bornes du générateur : 13,5 = E-rI avec r = 12 r' / 4 = 3 r' = 1,5 ohms. I = (18-13,5) / 1,5 = 3 A. Par suite I1 = U/R1 = 13,5 / 6 =2,25 A et I2 = 3-2,25 = 0,75 A. Tension aux bornes du moteur : 13,5 = E'+RMI2 ; E' = 13,5-2*0,75 =12 V. Rendement du moteur E'/U = 12/13,5 =0,89.

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