Un
parachutiste tout équipé, de masse 100 kg, saute d'un hélicoptère en
vol stationnaire. Le champ de pesanteur sera pris égal à g = 10 m
s-2. le graphe donnant la vitesse au cours de la chute est fourni ci-dessous. La force de frottement est du type f = kv2 où k est une constante. Elle s'oppose au déplacement. La poussée d'Archimède due à l'air sera négligée lors de la chute.
Etude des différentes phases de la chute.
Phase A : de 0 à 5 s.
Vérifier que l'évolution de la vitesse est en accord avec une chute libre pendant les 5 première secondes.
Le graphe ci-dessus v= f(t) est un segment de droite de coefficient directeur 10 m s-2 : v = gt, la chute est libre.
Phase B : de 5 à 10 s.
Que peut-on dire de l'accélération de cette phase ? Justifier.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe donne
l'accélération à un date t. Les tangentes sont de moins en moins
inclinées et se rapprochent de l'horizontale.
Les coefficients directeurs diminuent : l'accélération diminue.
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Phase D : à partir de 13 s.
Quelle est la nature du mouvement ? En déduire l'intensité de la force de frottements, la valeur de k et son unité.
La vitesse est constante égale à 10 m/s ; le mouvement est supposé rectiligne.
Le principe d'inertie indique que le rarachutiste est pseudo-isolé ; le poids et la force de frottement se neutrelisent :
mg = f = 100*10 = 1000 N.
k = f / v2 = 1000/100 = 10 kg m-1.
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Cas de la chute lors de l'ouverture du parachute ( phase C).
Etablir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la vitesse dans la phase C.
Nous
allons utiliser la méthode d'Euler pour prévoir l'évolution temporelle
de cette vitesse à des intervalles de temps réguliers Dt entre 10 s et 12 s.
v'(t) = dv/dt est équivalent à v' = a = Dv / Dt.
De plus la variation de la vitesse durant l'intervalle Dt s'écrit : v(t + Dt) -v(t).
Le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction dérivable f(x) peut s'écrire : f(x+h) = f(x)+ h f'(x), h étant le pas choisi.
Exprimer littérallement la vitesse v(t + Dt) sous forme d'une suite récurrente de pas Dt, en fonction de v(t), v2(t) et des autre paramètres.
Dv / Dt = g - k/m v2 et Dv = v(t + Dt) -v(t).
v(t + Dt) -v(t) = (g - k/m v2 )Dt
v(t + Dt) = v(t) + (g - k/m v2 )Dt. (1)
Les pas proposés sont : Dt = 0,050 ms ; Dt = 50 ms ; Dt = 5,0 s.
Pour quelle raison l'un des pas est-il manifestement inadéquat ?
L'intervalle d'étude est [10 ; 12 s] ; le pas deoit être bien inférieur à l'intervalle d'étude. 5,0 s ne convient pas.
Quel est le pas le plus adapté à notre étude pour une résolution numérique rapide ?
50 ms = 0,05 s : les calculs ne seront pas trop nombreux.
L'un des pas était aussi utilisable mais ne répond pas à l'objectif d'une résolution rapide.
Justifier pourquoi ? Quel moyen matériel permettrait son usage de manière rapide ?
Le pas 0,050 ms est très petit : en conséquence le grand nombre
de calculs ne peut être réalisé rapidement qu'à l'aide d'un tableur.
De quelle valeur a t-on nécessairement besoin pour commencer la résolution par la méthode d'Euler ? Déterminer celle-ci.
v(t + Dt) = v(t) + (g - k/m v2 )Dt.
g = 10 ms-2 ; k/m = 10/100 = 0,1 s-1 ; Dt = 0,050 s.
v(t + Dt) = v(t) +(10 -0,1v2 )Dt. (1)
a = Dv / Dt . ( 2 )
Il faut connaître la vitesse à la date initiale t = 10 s. Le graphe indique v= 70 m/s.
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Déterminer alors les valeurs des trois premières vitesses suite à l'ouverture du parachute par la méthode d'Euler.
v(t + Dt) = v(t) +(10 -0,1v2 )Dt. (1)
v(t + Dt) = 70 +(10 -0,1*702 )0,050 =46 m/s.
v(t + 2Dt) = 46 +(10 -0,1*462 )0,050 =35,92 ~36 m/s.
v(t + 3Dt) = 35,92 +(10 -0,1*35,922 )0,050 =29,97 ~30 m/s.
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