Raideur d'un ressort, lumière et milieu transparent : concours manipulateur radio Poitiers 2010.

Exercice 1. On se propose de mesurer la constante de raideur d'un ressort par une méthode dite de la surcharge. On étudie le mouvement d'un solide S de masse M attaché à un ressort de constante de raideur K. Le solide se déplace horizontalement et les frottements sont négligés ; x est l'abscisse de G dans le repère ( O, i ). On écarte horizontalement le solide de sa position d'équilibre d'une distance x0 et à l'instant de date t=0, on l'abandonne sans vitesse initiale. Equation différentielle régissant le mouvement du centre d'inertie G. Faire l'inventaire des forces s'exerçant sur le solide S à l'instant t=0 et les représenter sans souci d'échelle sur un schéma ne comportant que le solide S et les forces qu'il subit. On indiquera bien pour chaque force : son nom, son symbole et ses caractéristiques vectorielles, la norme n'étant exprimée que littéralement. ( on notera g l'accélération de la pesanteur ). P : poids, verticale vers le bas, valeur mg ; R : action du plan, opposée au poids ; T : force de rappel exercée par le ressort, horizontale vers la gauche. Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G du solide et montrer qu'elle se met sous la forme x" + k/m x = 0. Ecrire la seconde loi de Nenton : On admettra que la solution générale de l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G du solide, peut s'écrire sous la forme : x(t) = Xmax cos [2p t / T0 +j]. En déduire que l'expression de la période propre T0 en fonction de K et m est : T0 = 2p (m/K)½. Dériver x(t) par rapport au temps : x'(t) = -Xmax 2p  / T0sin [2p t / T0 +j]. Dériver une seconde fois : x"(t) = -Xmax [2p  / T0 ]2 cos [2p t / T0 +j] = -[2p  / T0 ]2 x(t). Repport dans l'équation différentielle : -[2p  / T0 ]2 x(t)+ K/m x(t) = 0 -[2p  / T0 ]2+ K/m = 0 soit : T0 = 2p (m/K)½. On mesure la durée de 15 oscillations, soit Dt = 15,6 s. Calculer T0. Dt / 15 = 15,6 / 15 = 1,04 s.   Le solide S est maintenant surchargé par un autre solide S' de masse m' = 20,0 g, fixé sur S. Ce nouveau système est excité et l'on mesure 15 oscillations en Dt = 16,05 s. Quelle est la nouvelle expression de la période T associée à l'ensemble {S +S'} en fonction de K, m et m' ? Dands l'expression de T0, remplacer m par m+m' : T = 2p ((m+m')/K)½ Calculer T. T = Dt /15 =16,05/15 =1,07 s. A l'aide des questions précédentes, montrer que l'on peut écrire K sous la forme  K = A m' / (T2-T02) avec A une constante à déterminer. Calculer K et m. K = 4*3,142 *0,020 /[1,07-1,04)(1,07+1,04)]=12,5 N m-1. T0 = 2p (m/K)½ ; m = K T02 / (4p2) =12,5 *1,042 / 4*3,142) = 0,34 kg. Une fente verticale, de largeur a est placée sur le trajet d'un faisceau lumineux produit par un laser. Un écran est placé  à une distance D de la fente. Sur l'écran, on observe dans un plan horizontal, une tache lumineuse centrale de largeur L, nettement supérieure à la largeur de la fente ainsi qu'une série de taches lumineuses plus petites de part et d'autre de la tache centrale. q est l'écart angulaire entre le centre de la tache centrale et la première extinction. La distance D étant très supérieire à L, on considère que q est petit et que donc q ~tan q avec q exprimé en radian. Comment s'appelle le phénomène observé ? La diffraction. Quel caractère particulier de la lumière met-il en évidence ? La lumière se comporte comme une onde ( aspect ondulatoire de la lumière ). La lumière émise par le laser est monochromatique. Quelle est la signification de ce terme ? Une lumière monochromatique comporte une seule fréquence, une seule couleur. Première série :  on utilise le même laser et la même distance D entre la fente et l'écran. Expérience 1 :  avec une fente "a1" on mesure la largeur de la fente centrale L1 = 5,0 cm. Expérience 2 :  avec une fente "a2" on mesure la largeur de la fente centrale L2 = 2,0 cm. Laquelle de ces deux expériences est obtenue avec la fente la plus large ? La diffraction est d'autant plus marquée ( L important  que la largeur de la fente est plus petite : L2 < L1, donc "a2" >"a1". Deuxième série :  on utilise le même laser et la fente. Expérience 1 :  la fente est à la distance "D1", on mesure la largeur de la fente centrale L1 = 5,0 cm. Expérience 2 :  la fente est à la distance "D2", on mesure la largeur de la fente centrale L2 = 8,0 cm. Laquelle de ces deux expériences correspond à la plus grande distance entre la fente et l'écran ? tan q ~q = ½L / D avec q constant ( même laser et même largeur de fente). L2 > L1, donc "D2" >"D1". Troisième série :  on utilise la même fente et la même distance entre la fente et l'écran. Expérience 1 : le laser utilisé émet une lumière dont la longueur d'onde dans le vide est l1 = 650 nm, on mesure la largeur de la fente centrale L1 = 3,0 cm. Expérience 2 : le laser utilisé émet une lumière dont la longueur d'onde dans le vide est l2, on mesure la largeur de la fente centrale L2 = 2,2 cm. Calculer l2. l2 = ad/D = aL2 /(2D) ; l1 = aL1 /(2D) ; l2 =l1L2 /L1  = 650*2,2 / 3,0=477 = 4,7 102 nm. On utilise une fente de largeur 1,00 mm placée à 1,60 m de l'écran. Celle-ci est éclairée par un laser dont la lumière &émise a une fréquence de 4,62 1014 Hz. Observe t-on sur l'écran une figure analogue à celles des expériences précédentes ? l =c / f = 3,00 108 / 4,62 1014 =6,49 10-7 nm = 649 nm. largeur de la fente centrale L = 2l D / a =2*6,49 10-7 *1,60 / 1,00 10-3 =2,08 10-3 m = 2,08 mm. La diffraction est très peu marquée, voir inexistante, la fente est trop large. On étudie maintenant la propagation dans différents milieux de la lumière jaune ( de longueur d'onde dans le vide l0 = 590 nm) émise par un laser. La vitesse de propagation de cette onde dans le diamant est v = 1,24 108 m/s. Quelle est  sa fréquence dans le vide ? f = c / l0 = 3,00 108 / (590 10-9) =5,0847 1014 = 5,08 1014 Hz. L'onde émise se propage dans le diamant. Quelle est sa fréquence, sa couleur et sa longueur d'onde ? La fréquence, donc la couleur, sont inchangées. Longueur d'onde l = v / f = 1,24 108 / 5,0847 1014 =2,44 10-7 m = 244 nm. La lumière passe du diamant  à l'eau dont l'indice de réfraction pour la lumière jaune est égal à 1,33. Dans quel milieu ( eau ou diamant ), la lumière se propage t-elle le plus rapidement ? n = c/ v soit v = c / n = 3,00 108 / 1,33 =2,26 108 m/s. La lumière se déplace plus vite dans l'eau que dans le diamant.

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