Mouvement d'un cycliste : Concours officier 1ère classe marine marchande 2009.

Question5 ( 8 points) Pour toute cette question, on considère un cycliste et sa bicyclette. La masse totale de l'ensemble vaut m = 80 kg et on prendra pour l'accélération de la pesanteur terrestre g = 9,8 m.s-2. Les conditions initiales sont les suivantes pour les deux parties de cette question : le cycliste s'engage dans une descente rectiligne de longueur L = 300 m assimilée à un plan incliné faisant un angle α = 3° avec l'horizontale, sa vitesse est V0 = 14,4 km.h-1, sa position est repérée par son abscisse x comptée à partir du début de la descente qui s'effectue en roue libre et suivant l'axe de plus grande pente. L'étude porte sur le mouvement du centre de gravité G de l'ensemble cycliste plus bicyclette. On considère que toutes les forces sont appliquées au centre de gravité G. 1ère partie : Les actions résistantes sont négligées. Représenter par un schéma les forces en présence sur le centre de gravité G. Établir l'expression de l'accélération a subie par G. Préciser le nom donné à ce mouvement. Ecrire la seconde loi de Newton suivant un axe parallèle au plan et orienté vers le bas : Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Établir l'expression de la vitesse V de G en fonction du temps. La vitesse est une primitive de l'accélération : v = g sin a t + constante ; la constante est déterminée par la condition initiale v0 = 14,4 /3,6 = 4,0 m/s. v = g sin a t + v0. Établir l'expression de la position x de G en fonction du temps. La position est une primitive de la vitesse : x = ½gsin a t2 + v0t + constante ; la position initiale étant l'origine de l'axe, la constante d'intégration est nulle. x = ½gsin a t2 + v0t. Calculer le temps mis par le cycliste pour arriver en bas de la descente. En bas de la descente x = 300 m ; 300  = 0,5*9,8 *sin 3 t2 + 4,0 t. 300 = 0,2564 t2 + 4,0 t ; t2 +15,6 t -1169,8 ; D = 15,62+4*1169,8 =4922 ; D½ = 70,16 t = 27,28 s ~ 27 s. En déduire la vitesse du cycliste en bas de la descente. Exprimer le résultat en km.h-1. v = 9,8 *sin 3 *27,28 +4,0 = 17,99 ~ 18 m/s. 17,99*3,6 = 64,77 ~ 65 km/h. Le cycliste effectue un virage sur un plan horizontal, sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R = 57 m et sa vitesse a pour valeur constante V = 65 km.h-1.  Représenter par un schéma la trajectoire et les vecteurs vitesse et accélération. Préciser le nom donné au vecteur accélération et calculer sa valeur. L'accélération est centripète. v = 65/3,6 = 18,05 m/s ; a = 18,052 / 57 = 5,7 m s-2. Le cycliste est ensuite sur une route horizontale et sa vitesse est toujours de 65 km.h-1. Il actionne les freins, la force de freinage F étant constante. Arrêté, il constate qu'il a parcouru une distance de 70 m pendant le freinage. Représenter sur un schéma les forces qui s'exercent sur G et le sens de déplacement du cycliste. Calculer l'énergie cinétique de G juste avant le début du freinage. En déduire la valeur de l'énergie dissipée par l'action de freinage. Ec = ½mv2 = 0,5*80 *18,052 =1,304 104 ~ 1,3 104 J. L'énergie dissipée sous forme de chaleur par l'action du freinage est de 13 kJ. L'énergie dissipée par le freinage correspond au travail de la force de freinage : calculer la valeur de cette force. Travail résistant de F au cours du déplacement L = 70 m : W = - 70 F = -1,304 104 ; F = 1,304 104 /70 = 186 ~1,9 102 N. Calculer la valeur de la décélération (accélération négative) subie par G lors du freinage. Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe horizontal ayant le sens du mouvement : -F = ma : a = -F/m = -186/80 =-2,3 m s-2. 2è partie : Les actions résistantes sont modélisées et sont de la forme f = -kV2, expression dans laquelle f est la force résistante opposée au mouvement, k un facteur constant et V la vitesse de G. Lorsque le cycliste est en bas du plan incliné, sa vitesse est de 27 km.h-1 et on admet qu'il s'agit de la vitesse limite. Représenter par un schéma les forces en présence subies par G dans la descente. Écrire l'équation différentielle du mouvement de G. Calculer la valeur de k et préciser son unité. 27 /3,6 = 7,5 m /s. Lorsque la vitesse limite est atteinte dvlim /dt = 0 ; k/m v2lim = g sin a. k = m g sin a / v2lim =80*9,8 *sin 3 / 7,52 =0,73 kg m-1.  Calculer la force constante que doit exercer le cycliste sur terrain plat pour avancer à la vitesse initiale V0 = 14,4 km.h-1. La vitesse étant constante, le mouvement est rectiligne uniforme. La force motrice et la force de frottement sont opposées : elles ont même valeur. 14,4 / 3,6 = 4,0 m/s. F = kv02 =0,73 *42 = 11,7 ~ 12 N. En appliquant un pas de calcul de 2 secondes, calculer la valeur de la vitesse de G à t = 10 s.  Comparer cette valeur avec celle obtenue au bout du même temps sans frottement. Indiquer si le résultat est cohérent. On calcule l'accélération à la date t  à partir de a(t) = gsin a-k/mv2(t). a(t) = 9,8 sin 3 -0,73/80v2(t) ; a(t) =0,513 -9,125 10-3v2(t). On calcule la vitesse  à la date t+Dt à partir de : v(t+Dt) = v(t) + a(t) Dt. Avec v(0) = 4,0 m/s ; Dt = 2 s ; a(0) = 0,513 -9,125 10-3*16 = 0,367 m s-2 ; v(2) = 4,0 +0,367*2 =4,734 m/s. temps (s) a ( m s-2) v (m/s) 0 0,367 4,0 2 0,308 4,73 4 0,252 5,35 6 0,20 5,85 8 0,156 6,25 10 0,120 6,56 En l'absence de frottement v(10) = 9,8 sin 3 *10 + 4,0 = 9,1 m /s. Cette valeur est supérieure à 6,56 m/s, vitesse  à t = 10 s dans le cas de frottement. Ces valeurs sont donc cohérentes. Tracer sur un même système d'axe la vitesse V en fonction du temps t de t = 0 à t = 10 s en prenant comme échelle 1 cm pour 1 s et 1 cm pour 1 m.s-1 : – sans force résistante ; – avec force résistante.

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