Un
haut parleur est constitué d’une bobine mobile placée dans un champ
magnétique créé par un aimant. Lorsqu’elle est parcourue par un courant
alternatif, cette bobine entraine la membrane du haut parleur.
On souhaite caractériser cette bobine ; pour cela on bloque son
déplacement en immobilisant la membrane. On propose alors un modèle
électrique simple constitué par une inductance L en série avec une
résistance R
1ère expérience :
A t= 0 s, on alimente la bobine sous une tension constante. On mesure u
à l’aide d’un voltmètre et i à l’aide d’un système d’acquisition en
intensité (cf. schéma ci-dessous). On enregistre l’évolution de i(t).
Le
système d’acquisition en courant possède une résistance interne RA
= 2,0 Ω.
Le voltmètre possède une résistance interne RV =
1,0 MΩ.
Indication du voltmètre u = 5,0 V constant pour t >0.
Etude en
régime permanent :
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Ecrire
l’équation liant u à i en régime permanent. En déduire la valeur de R.
Quel
appareil de mesure aurait pu être utilisé pour mesurer directement R
?
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En régime permanent, la bobine se comporte
comme un conducteur ohmique de résistance R.
La résistance
de l'ampèremètre est RA = 2,0 ohms ; u = (R+RA
) i.
En régime permanent, l'intensité est proche de 0,62 A ( lecture graphe
) et u = 5,0 V ; R =u / i -RA = 5,0 / 0,62
-2,0= 6,1 ohms.
On aurait pu mesurer
directement la résistance de la bobine isolée du circuit avec un
ohmètre.
Etude du régime
transitoire :
Ecrire
l’équation différentielle de variable i(t) pour t >0.
Additivité des tensions : u = Ldi/dt + Ri + RA
i ; u = Ldi/dt +(R +RA) i.
di/dt +(R +RA) / L i = u / L.
Sa solution est de la forme i(t) = α + β exp (- t / γ) ; exprimer
α, β et γ en fonction des données de l’énoncé.
On pose g = L/(R +RA)
;
A l'instant t=0, la continuité de l'énergie conduit à i(0) = 0.
0 = a
+ ß ; a
= - ß.
En régime permanent i = u / (R
+RA) = a ; ß = - u / (R +RA).
Quelles
sont l’expression et la valeur de i lorsque t = γ ? En déduire la
valeur de γ, puis la valeur de L.
g
est la constante de temps du dipole RL ; i(g) =u/(R+RA)
( 1-exp(-1)) = 0,63 u/(R+RA).
i(g)
=0,63*5 / 8,1 =0,39 A.
L = g (R +RA)
=60 10-6 *8,1 =4,8
10-4 H.
2è
expérience :
Pour obtenir une mesure de L plus précise que la précédente, on réalise
un circuit oscillant constitué de la bobine placée en série avec un
condensateur de capacité C, initialement chargé sous 10 V.
Quelle
condition sur C permet d’obtenir une réponse pseudo périodique, sachant
que la résistance critique est donnée par Rc=2(L/C)½
?
Pour obtenir un régime pseudopériodique, la résistance R du dipôle RLC
doit être inférieure à Rc.
La résistance de la bobine vaut R = 6,1 ohms.
Rc2 = 4L / C ; Rc2
> 6,12 ; 4L / C
> 6,12
; C < 4L / 6,12
; C <4*4,8 10-4 / 6,12
; C > 5,2 10-5 F.
On choisit
C = 0,20 μF ; la pseudo-période de ce circuit est très proche de la
période propre du circuit non amorti correspondant.
En
utilisant l’enregistrement ci-après, exprimer L en fonction de
paramètres connus. Calculer L
T = 2 p (LC)½
; ( T/(2 p))2
= LC ; L = ( T/(2 p))2
/C.
L = (6,4 10-5 / 6,28)2 /
2 10-7 =5,2
10-4 H.