Cinématique, oscillateur élastique, dipôle RLC, radioactivité. Concours AVENIR 2010

Aurélie 21/05/10

Cinématique, oscillateur élastique, dipôle RLC, radioactivité. Concours AVENIR 2010.

Exercice 5.
Dans un TGV animé d’un mouvement rectiligne et uniforme roulant à la vitesse V₀ = 300 km.h^-1 par rapport au sol, un passager se déplace à une vitesse constante V₁ = 1 m.s^-1.
A l’instant t = 0, il part de l’arrière du train et remonte en direction de l’avant du train. On prendra l’axe des x comme axe horizontal, orienté dans le sens du mouvement du train et i désigne le
vecteur unitaire de cet axe, avec la même orientation.
40. Dans le référentiel du TGV (origine prise à l’arrière du train)
A. l’accélération du passager est constante, strictement positive. Faux ;
Le passager est animé d'un mouvement rectiligne uniforme : son accélération est nulle.
B. l’accélération du passager n’est pas constante. Faux ;
C. l’équation horaire du passager est x(t) =V₁ t. Vrai ;
D. l’équation horaire du passager est x(t) =-V₁ t. Faux ;

41. Par rapport au référentiel du sol (origine prise au point de départ du passager) :
A. l’accélération du passager n’est pas constante. Faux ;
Le passager est animé d'un mouvement rectiligne uniforme : son accélération est nulle.
B. l’équation horaire du passager est x(t) =V₀ t. Faux ;
C. l’équation horaire du passager est x(t) =(V₀-V₁ )t. Faux ;
D. l’équation horaire du passager est x(t) =(V₀+V₁ )t. Vrai ;

Le train arrive en gare et freine de façon régulière pour passer de la vitesse V₀ à la vitesse nulle pendant l’intervalle de temps de durée t₁. Le passager continue de se déplacer dans le TGV et on
se place dans le référentiel du sol.
42. L’accélération du passager est :

La première proposition est fausse, car le train freine ; la seconde est fausse : lors d'un freinage, la vitesse diminue et l'accélération est négative. Enfin pour la quatrième : un vecteur n'est pas égal à un nombre.

43. L’équation horaire du mouvement du passager s’écrit (origine désormais prise à la position du passager à l’instant t = 0):
A. x(t) = ½V₀/t₁ t² +(V₀+V₁)t. Faux ;
B. x(t) = -½V₀/t₁ t² +(V₀+V₁)t. Vrai ;
C. x(t) = -½V₀/t₁ t² +(V₀-V₁)t. Faux.
D. aucune des trois réponses. Faux.

Exercice 6.
Un ressort de raideur k et de masse m₀ est suspendu verticalement par son extrémité A, en un lieu où la norme du vecteur accélération de la pesanteur est notée g. Sa longueur au repos est L₀. À
l’autre extrémité B, on accroche une masse ponctuelle m. À l’équilibre, le ressort s’allonge de la longueur h = BO. La longueur du ressort est alors AO = L.

44. On a la relation :
A. g = km/h. Faux ; B. g = kh/m. Vrai ; C. g = hm/k. Faux ; D. aucune des trois réponses. Faux.
[g] = L T^-2 ; k : force divisée par une longueur et une force est une masse fois une accélération
k/m est donc une accélération divisée par une longueur ; kh/m a la dimension d'une accélération.

À partir de la position d’équilibre O prise comme origine, on écarte la masse m d’une longueur x(0) >0 et on la lâche sans vitesse initiale à l’instant t = 0.
45. L’équation du mouvement de la masse m est :
A. x" = mg + k(x+h). Faux ;
x" est une accélération alors que mg + k(x+h) est une force.
B. mx" = mg - k(x-h). Faux ;
Il faudrait écrire mg -k(h+x) avec mg = kh.
C. x" = -k/m x. Vrai ;
D. x" = k/m x. Faux.

On suppose le mouvement harmonique, de la forme x(t) = a sin(2p t / T₀ + F) où a représente l’amplitude des oscillations, T₀ leur période et F un déphasage.
46. On a :
A. F=0. Faux.
x(0) = a = a sin F ; d'où F = ½p.
B. T₀ = (m/k)^½. Faux ;
T₀ =2 p (m/k)^½.
C. a = -x(½T₀). Vrai ;
-x(½T₀) = -a sin (p + ½p) = -a sin (3p/2) = a.
D. aucune des trois réponses. Faux.

47. On a la relation :
A. g = 4 p²h/T₀². Vrai ; B. g = h/T₀². Faux ; C. g =T₀²/h. Faux ; D. aucune des trois réponses. Faux.
4 p²/T₀²= k / m ; 4 p²h/T₀²= kh / m ; (voir question 44).

Exercice 7 : On étudie la décharge d’un condensateur à travers une bobine et une résistance.
La bobine a une inductance L et une résistance r. On a de plus une résistance R et on note C la capacité du condensateur.

Le condensateur a été préalablement chargé et à l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K.
48. On a la relation :
A. u_AB + u_BK - u_AK = 0. Vrai.
- u_AK = u_KA ; u_AB + u_BK + u_KA = u_AA = 0.
B. u_BA + u_BK + u_AK = 0. Faux ;
u_BA +u_AK = u_{BK ;}u_BA + u_BK + u_AK =2 u_BK ;
C. u_AB + u_BK+ u_AK = 0. Faux ;
u_AB + u_BK= u_AK ; u_AB + u_BK+ u_AK =2u_AK .
D. u_BA + u_KB + u_KA = 0. Faux ;

49. q désigne la charge de l’armature du condensateur reliée à K. On a la relation :
A. i (t)= -dq/dt. Faux ;
B. i (t)=Cdq/dt. Faux ;
C. i (t)= dq/dt. Vrai ;
D. i (t)=- Cdq/dt. Faux ;

50. On a la relation :
A. u_AB = R i. Vrai ;
B. u_BA = R i . Faux ;
C. u_AB = (R+r)i. Faux ;
D. u_AB =-(R+r) i. Faux ;

51. On a la relation :
A. u_BK = r i. Faux ;
B. u_BK = r i + L di/dt. Vrai ;
C. u_BK = L di/dt. Faux ;
D. u_BK =-r i - L di/dt. Faux ;

52. On a l’équation différentielle :
A. Ld²q/dt² +(R+r) dq/dt + q/C=0 Vrai.
B. Ld²q/dt² -(R+r) dq/dt + q/C=0. Faux ;
C. Ld²q/dt² +(R+r) dq/dt + Cq=0 Faux ;
D. d²q/dt² +1 /(R+r) dq/dt + q/(LC)=0. Faux.

53. R et r sont strictement positifs dans cette question.
On obtient le graphe suivant pour la tension aux bornes du condensateur.

En abscisses, le temps est mesuré en secondes. Il s’agit d’un régime pseudo-périodique.
La pseudo-période vaut :
A. 0,75 s. Faux. B. 1,5 s. Vrai ; C.4,5 s . Faux ; D. 5 s. Faux.

54. On suppose pour cette question que R = r = 0. On peut affirmer que :
A. le régime est pseudo-périodique d’oscillations amorties avec une pseudo-période propre de T = 2 p(LC)^½. Faux.
le régime est périodique d’oscillations non amorties avec une période propre de T = 2 p(LC)^½.
B. la tension aux bornes du condensateur s’écrit u_KA = U_m cos(2p(LC)^-½ t + F₀). Faux ;
C. la tension aux bornes du condensateur s’écrit u_KA = U_m cos((LC)^½ t + F₀). Faux ;
u_KA = U_m cos(w t + F₀) avec w = 1/(LC)^½ ; u_KA = U_m cos((LC)^-½ t + F₀).
D. aucune des trois propositions précédentes. Vrai.

Exercice 8.
55. On considère l’équation de désintégration radioactive : ²³⁸₉₄Pu -->²³⁴₉₂Pu +⁴₂He.
Il s'agit de :
A. radioactivité a Vrai ;
B. radioactivité b⁺ Faux .
C. radioactivité b^- Faux .
D. émission g. Faux.

56. La demi-vie du carbone 14 est d’environ 5 500 ans.
Un morceau de bois mort est resté enterré pendant 22 000 ans.
Pendant ces 22 000 années, le nombre d’atomes de carbone 14 a été :
A. divisé par 4 .Faux ;
22000 = 4 demi-vies ; le nombre d'atomes de carbone 14 a été divisé par 2⁴ = 16.
B. divisé par log(4). Faux ;
C. divisé par 16. Vrai.
D. divisé par ln(16). Faux.

On considère maintenant une population formée de noyaux radioactifs tous identiques. On note ‰N₀ la population à l’instant t = 0 et N‰(t) la population à l’instant t.
On note Šl la constante de radioactivité caractéristique du type de noyau et t_½ la demi-vie du type de noyau.

57. On a la relation :
A. N(t) = exp(-lt). Faux ;
B. N(t) =N₀ exp(-lt). Vrai ;
C. dN/dt = l N(t) Faux ;
D. aucune des trois réponses précédentes. Faux.

58. On a la relation :
A. t_½ = 2 / l. Faux ;
B. t_½ = ln2 / l. Vrai ;
C. t_½ = l /ln2. Faux ;
D. aucune des trois réponses précédentes. Faux.

59. au bout d'un temps t inconnu, on observe une population N. On a la relation :
A. t = l ln (N₀/N). Faux ;
ln (N₀/N) = lt.
B. t = 1/ l ln (N/N₀). Faux ;
C. t = 1/ l ln (N₀/N). Vrai
D. aucune des trois réponses précédentes. Faux.

60. au bout d'un temps t inconnu, on observe on observe que la population a diminué de 25 % par rapport à N₀. On a la relation :
A. t = -l ln (0,75). Faux ;
Il reste 75 % des noyaux initiaux ; ln (N/N₀) =- lt = ln(0,75).
B. t = -1/ l ln (0,25). Faux ;
C. t = -1/ l ln (0,75). Vrai
D. t = -l ln (0,25). Faux.

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