Système terre -
atmosphère.
On considère que la terre et son atmosphère constituent les deux
armatures d'un condensateur sphérique. L'armature terrestre est chargée
négativement, l'atmosphère positivement. Au voisinage du sol, le champ
électrique créé est de l'ordre de 100 V m-1.
On suppose conventionnellement que le sol est de potentiel nul.
Compléter la figure ci-dessous et
attribuer à chacune des équipotentielles sa valeur en volts, sachant
qu'elles sont séparées d'un mètre. Représenter quelques lignes de champ
électrique.
En rouge quelques lignes de champ électrique.
Effet de pointe :
les lignes de champ et les équipotentielles se resserent : le champ est
plus fort.
Le système terre -atmosphère est localement modèlisable par un
condensateur plan dont une armature porte la densité surfacique s supposée positive. On rappelle
qu'un plan infini portant la densité surfacique s crée un champ électrique de
norme Eplan = s /
(2e0).
Rappeler l'expression du champ
électrique crée par une charge ponctuelle Q située en un point de
l'espace et vérifier ainsi l'homogénéité de l'expression précédente.
Les lignes de
champ concourent au point où se trouve la charge. Elles fuient la
charge si celle ci est positive. Elles viennent vers la charge si celle
ci est négative. Les surfaces
équipotentielles sont des sphères centrées sur la charge.
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s : C m-2
; Q / PM2 : C m-2
; 4 p est sans dimension ; s / (2e0) est bien homogène à
un champ électrique.
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Représenter le
vecteur champ électrique de part et d'autre du plan infini portant la
densité de charge s. Etablir l'expression
de Eplan.
Appliquer le théorème de Gauss : la surface
de Gauss est un cylindre de section dS.
Le flux du champ est nul à travers la surface latérale du cylindre,
celle-ci étant perpendiculaire au champ.
On considère une deuxième plan
infini, parallèle et situé à la distance e du précédent. Ce plan porte
une densité surfacique de charge -s uniforme.
Les deux plans sont séparés par de l'air dont la permittivité sera
prise égale à e0.
Valeur du
champ uniforme entre les armatures E = s/e0.
A.N : s = 1,1 10-9 C m-2
; e0 = 8,9 10-12
F m-1. E = 1,1 10-9
/ 8,9 10-12
=124 ~1,2 102 V m-1.
Il s'agit d'une valeur moyenne, la norme du champ électrique évoluant
régulièrement avec l'altitude.
Le champ
électrique dans la basse atmosphère.
Dans la basse atmosphère, où se développent les orages, le champ de
pesanteur peut être supposé uniforme et noté  . L'air est assimilé à un gaz parfait pour lequel g = cp/cv le
rapport entre les capacités thermiques massiques à pression constante
et à volume constant. L'atmosphère est en équilibre adiabatique et l'on
note r(z) et P(z) les masse
volumique et pression mesurées à l'altitude z, l'axe des z étant
orienté selon la verticale ascendante. L'étude est faite dans un
référentiel galiléen.
Qu'est-ce
q'un référentiel ? Un référentiel en translation rectiligne par rapport
à un référentiel galiléen est-il galiléen ? Justifier.
Un référentiel est un objet
par rapport auquel on étudie le mouvement d'un corps. Dans un
référentiel galiléen, les lois de newton s'appliquent.
Un référentiel en translation rectiligne et uniforme, par rapport à un
référentiel galiléen, est galiléen.
Un référentiel en
translation rectiligne,
par rapport à un référentiel galiléen, n'est pas galiléen.
On isole par la pensée un parallélépipède élémentaire d'air, de côtés
dx, dy et dz, d'altitude comprise entre z et z+dz, que l'on suppose en
équilibre.
Représenter
les forces extérieures verticales agissant sur ce volume infinitésimal.
Etablir la relation de la statique des fluides dP = -rgdz.
Les forces extérieures sont le poids de l'air intérieur et les forces
pressantes dues à l'air extérieur.
Enoncer la loi de laplace de la
thermodynamique en fonction des variable P et V. Exprimer cette loi à
l'aide des variables r et P.
Dans le cas d'une transformation adiabatique réversible : P Vg = Cste.
V = m / r = n M / r = une constante / r ; par suite P / rg = Cste.
On suppose que l'atmosphère est en équilibre adiabatique. L'équilibre
hydrostatique étant atteint,
Ddémontrer que la
masse volumique peut se mettre sous la forme :
p / rg = p0 / r0g =Cste ; dp = -rgdz.
La dérivée logarithmique de P / rg = Cste. s'écrit : dp/ p = g dr / r ;
On admet
qu'il y a proportionnalité entre le champ électrique E(z) et la masse
volumique r(z).
Exprimer E(z) en fonction du champ à
proximité du sol E0, de g, g, R, z, de la masse molaire moyenne de
l'air M et de la température T0 au niveau du sol.
Ce champ électrique présent dans la basse
atmosphère induit alors la circulation des ions qu'elle contient.
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Le mouvement des ions.
Bien
quélectriquement neutre, l'atmosphère est constituée de nombreux ions,
qui vont se déplacer dans le champ électrique. On étudie dans cette
question le mouvement d'un cation, de charge e et de masse m, se
déplaçant à la vitesse v dans le champ électrique terrestre, supposé
constant et uniforme. Le champ magnétique terrestre et la pesanteur
sont négligés. Lors de son déplacement, l'ion subit une force de
frottement fluide : 
Citer un mécanisme à l'origine de la création d'ions dans l'atmosphère.
Dans la haute atmosphère, les rayons cosmiques ionisent atomes et molécules.
Etablir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse.
Le cation est soumis à son poids, à une force électrique et à la force de frottement fluide :
Le poids est négligeable devant la force électrique. On écrit la seconde loi de Newton sur un axe vertical ascendant :
La solution particulière est la vitesse limite : vlim = e / l E.
Solution générale de l'équation sans second membre : v = A exp(-lt/m) avec A une constante.
Solution générale : v = A exp(-lt/m) +e / l E.
A t = 0, la vitesse initiale est supposée nulle : 0 = A +e / l E.
v = e / l E ( 1-exp(-lt/m)).
Le temps caractéristique est t = m / l.
L'unité de l est : kg s-1.
A.N : E = 100 V m-1 ; m = 4,8 10-26 kg.
vlim = e / l E = 1,6 10-19 *100 / 5,0 10-16 =3,2 10-2 m s-1.
t = 4,8 10-26 / 5,0 10-16 = 9,6 10-11 s.
Poids du cation : mg ~ 4,8 10-26 * 10 = 4,8 10-25 N.
Force électrique : eE = 1,6 10-19 *100 = 1,6 10-17 N, très supérieure au poids.
Valeur du champ magnétique terrestre : B ~ 5 10-5 T.
Force magnétique : e vlim B = 1,6 10-19 *3,2 10-2 *5 10-5 ~2,5 10-25 N, négligeable devant la force électrique.
Ce
déplacement d'ions va tendre à annuler la différence de potentiel entre
la terre et l'atmosphère. Pour maintenir le déséquilibre entre la
charge terrestre et celle de l'atmosphère, il faut donc constamment
recharger négativement la terre. C'est ce que font les orages, par le
biais de la foudre.
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