Réalisation d'un ascenseur spatial : Kepler, jour sidéral,  concours agrégation 2009

Satellites géostationnaires. Rappeler ce qu'est un satellite géostationnaire. Quelle est son orbite ? Quel type de satellite trouve t-on sur cette orbite ? Un satellite géostationnaire paraît fixe pour un observateur terrestre. Il décrit une trajectoire circulaire, dans le même sens que la Terre, dans le plan équatorial. Les satellites de télécommunications sont géostationnaires. Appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite en précisant le repère d'étude. En déduire le rayon RS de l'orbite en fonction de la constante de gravitation G, de la masse de la Terre MT et de la pulsation wT du mouvement de rotation propre de la terre. Le référentiel d'étude est le référentiel géocentrique. Le satallite n'est soumis qu'à la force de gravitation exercée par la Terre. L'accélération est centripète de valeur : wT2RS. La relation fondamentale de la dynamique conduit à ( m : masse du satellite ) : G MT m / RS2 = mwT2RS. RS3 =G MT  /wT2 ; RS = ( G MT  /wT2 )1/3. La période de rotation propre de la Terre est TT =0,997 jour. La période de révolution de la Terre est TA = 365,25 jours. Expliquer pourquoi TT n'est pas égale  à un jour. Exprimer TT en fonction de de la durée du jour TJ et de la période de révolution TA de la Terre. La terre tourne sur elle même et tourne autour du Soleil. Jour sidéral : période de rotation TT de la Terre par rapport aux étoiles. Jour solaire : TJ durée entre deux passages consécutifs au méridien. La Terre en position 1 met un jour ssidéral pour arrivé en position 2 et un jour solaire pour arrivé en position 3. TT = 2p / wT ; TJ = (2p +a) / wT avec, par définition TJ =24 heures. Lorsque la Terre décrit une orbite autour du Soleil ( année tropique = 365,242 jours solaires ), la Terre effectue 365,242 tours sur elle même par rapport au Soleil et 366,242 tours sur elle même par rapport aux étoiles. TA = 365,242 TJ = 366,242 TT. TT /TJ = 366,242 / 365,242 =0,997. Un jour sidéral vaut 0,997 jour solaire. A.N : Evaluer RS. On donne G =6,67 10-11 m3 kg-1 s-2 ;  MT = 5,97 1024 kg. wT= 2p / (24*3600) = 7,272 10-5 rad/s. RS = ( G MT  /wT2 )1/3= ( 6,67 10-11x  5,97 1024  / (7,272 10-5)2 )1/3= 4,2 107 m. On donne pour la Lune : rayon moyen de l'orbite 2,536 10-3 u a ; période de révolution TL = 27,3 jours. 1 u a = 1,50 1011 m. Comment aurait-on pu retrouver simplement la valeur de RS ? Ecrire la 3ème loi de Kepler pour le satellite géostationnaire et la Lune. TS2 / RS3 = TL2/ RL3. RS3 =  RL3 (TS / TL)2 ; RS =  RL (TS / TL)2/3 ; RS =  2,536 10-3 (1 / 27,3)2/3 =2,8 10-4 u a RS =2,8 10-4 x 1,50 1011 =4,2 107 m. Câble de section constante. On imagine un câble de section constante S, réalisé dans un matériau de masse volumique r, relie la Terre à un satellite géostationnaire. Le câble est ancré à la Terre en un point de l'équateur situé  à la verticale du satellite. Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. Un point du câble est repéré par sa distance r au centre de la Terre. La tension du câble  en r, notée T(r), est la force qu'exerce en r la partie supérieure du câble ( r' > r) sur sa partie inférieure. On pose T(r) = T(r) u où u est un vecteur unitaire pointant de la terre vers le satellite dans la direction du câble. On note g0 = GMT/RT2 la valeur du champ de gravitation  à la surface de la Terre. On se place dans le référentiel terrestre. Donner l'expression de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur un élément du câble, de masse dm et compris entre r et r + dr. Dans le référentiel terrestre : Fe = dm r wT2 u. Ecrire la condition d'équilibre de cet élément. Montrer qu'elle peut s'écrire T(r+dr) - T(r) -dP(r) = 0 où : Poids de l'élément du câble situé  à la distance r : dP =dm g0 = dmGMT/r2 Condition d'équilibre : T(r+dr) - T(r) - dmGMT/r2 +dm r wT2 =0. dm = r S dr  ; wT2=GMT/RS3 ; T(r+dr) - T(r) - r S dr GMT ( 1/ r2 -r/RS3)=0. Remplacer GMT par : g0RT2 d'où : T(r+dr) - T(r) - r S g0RT2( 1/ r2 -r/RS3) dr =0. Quelle est la signification physique de dP(r) ? Que vaut dP(r) pour r = RS ? Dans le référentiel terrestre, dP(r) représente le poids apparent de l'élément du câble. dP(r=RS) =  r S g0RT2( 1/ RS2 -RS /RS3) dr = r S g0RT2( 1/ RS2 -1 /RS2) dr = 0. Le poids apparent du satellite géostationnaire est nulle :  il peut donc rester immobile pour un observateur terrestre. Au niveau du satellite, l'extrémité du câble est supposée libre. En déduire T(RS). Donner l'expression de T(r). T(RS) - dP(RS) =0 avec dP(RS) =0, d'où : T(RS) =0. (T(r+dr) - T(r)) / dr = dT(r)/dr = dP(r) T(r)/dr = r S g0RT2 ( 1/ r2 -r/RS3). Une primitive de 1/ r2 est -1/r ; une primitive de r/RS3est ½r2/RS3. Intégrer:  T(r) = r S g0RT2 ( -1/r -½ r2/RS3)+ constante. la constante d'intégration est trouvée en écrivant que : T(RS) =0 r S g0RT2 ( -1/RS -½RS2/RS3) + constante = 0 constante = r S g0RT2 ( 3/(2RS )). T(r) = r S g0RT2 ( 3/(2RS )-1/r -½ r2/RS3). Montrer que T(RT) est le poids apparent du câble dans le référentiel terrestre. Dans le référenttiel terrestre, le câble est en équilibre sous l'action de son poids apparent et de l'action exercée par la Terre  ( point de fixation ) sur le câble  -T(RT). -T(RT) +Papp = 0 ; Papp = T(RT). On note P0 le poids qu'aurait le câble s'il se trouvait entièrement dans  le champ de pesanteur g0. Montrer que : P0 = mg0 = rS(RS-RT)g0 ; T(r=RT) = r S g0RT2 ( 3/(2RS )-1/RT -½ RT2/RS3). T(r=RT) = r S g0RT ( 3RT/(2RS )-1 -½ RT3/RS3). T(r=RT) = r S g0RT ( 1,5 x -1 -½ x3). remplacer  r S g0 par P0 /(RS-RT) : T(r=RT) = P0 RT /(RS-RT) ( 1,5 x -1 -½ x3). T(r=RT) = P0 x/(1-x) ( 1,5 x -1 -½ x3). | T(r=RT)|=P0 x/(1-x) ( 1+½ x3-1,5 x ). A.N : Evaluer le rapport | T(r=RT)| /P0 et commenter. | T(r=RT)| / P0  = x/(1-x) ( 1+½ x3-1,5 x ) avec x ~6400/42000 ~0,15. | T(r=RT)| / P0  = 0,15 / 0,85 [1+ 0,5 *0,153-1,5*0,15] = 0,14.     Représenter graphiquement T(r) en fonction de r. Le câble est-il en compression  ou en tension ? Quel est le risque lié à cette situation ? La tension étant négative, le câble travaille en compression : il y a un risque d'effondrement de ce dernier. Pour remédier à ce problème on envisage un câble qui dépasse l'orbite géostationnaire ( dont la longueur est supérieure à RS-RT). Comment est dirigé le poids apparent d'un élément de longueur du câble situé à r >RS ? dP(r) représente le poids apparent d'un élément de longueur du câble : dP(r) = r S g0RT2( 1/ r2 -r/RS3) dr. dP(r) = r S g0RT2 r ( 1/ r3 -1/RS3) dr ; r est supérieur  à RS : le terme 1/RS3 lié à la force centrifuge l'emporte sur le terme 1/ r3 lié au poids. dP(r)  a le sens du vecteur u. Montrer que si le câble dépasse une certaine distance R0, il est en tension sur toute distance r. Quel est alors le poids apparent du câble ? Dans le référenttiel terrestre, le câble est en équilibre sous l'action de son poids apparent et de l'action exercée par la Terre ( point de fixation ) sur le câble  -T(RT). -T(RT) +Papp = 0 ; Papp = T(RT). Si le poids apparent est positif, T(RT) est positif ( câble tendu).  A l'extrémité libre du câble la tension est nulle : Papp = T(R0)=0. Exprimer R0 en fonction de RS et RT. Hypothèse : R0 >> RS, les termes  1 et R0RT2/(2RS3) sont négligeables : R0 ~[2RS3 / RT]½. A.N : R0 ~[2*420003 / 6400]½~ 1,5 105 km ( l'hypothèse est vérifiée ). Représenter graphiquement T(r) en fonction de r pour un câble de longueur R0-RT. A quelle distance, le maximum Tmax de T(r) est-il atteint ? Donner l'expression de Tmax. T(r) passe par un extrémum quand dP(r) = 0, c'est à dire pour r = RS. T(r) est nulle  pour r = R0 et pour r = RT : il s'agit donc d'un maximum.   Câble de section variable. On enviseage ici un câble de section variable S(r) de longueur supérieure à R0-RT. On définit la contrainte s(r) du  câble au point r par : s(r) = T(r) / S(r). Pour un matériau donné, la contrainte ne doit pas excèder une valeur critique sc sous peine d'entraîner des déformations irréverssibles conduisant éventuellement  à sa rupture. Montrer que pour optimiser la masse du câble, on doit faire varire sa section de façon  à avoir, pour tout r, s(r) =sc. Dans la suite on suppose cette condition réalisée. En choisissant la section S(r) = T(r) / sc, la contrainte critique n'est pas dépassée quel que soit r et la masse est optimisée. Montrer que S(r) satisfait l'équation différentielle : D'une part : dT(r) = r S g0RT2 r ( 1/ r3 -1/RS3) dr ; d'autre part : S(r) = T(r) / sc. dS(r) = r S g0RT2 r ( 1/ r3 -1/RS3) /sc dr dS(r) / S(r)= r  g0RT2 r ( 1/ r3 -1/RS3) /sc dr = RT2 / h   ( 1/ r2 -r / RS3) dr. dS(r) / S(r) est sans dimension : donc h a la dimension d'une longueur. Inégrer l'équation ci-dessus : on note SS la section du câble au niveau de l'orbite géostationnaire. Représenter schématiquement la dépendance de S(r)  avec r. En déduire le rapport d'aspect du câble SS / ST = exp(0,775RT / h ) ST est la section du câble  à la surface de la Terre. Comment varie la tension T(r) ?   T(r) =S(r)  sc. La tension T(r) varie comme la section S(r). Représenter SS/SR en fonction de h pour h compris entre 50 km et 10000 km. Choix du matériau. matériau acier Kevlar nanotubes r (kg m-3) 7800 1450 1300 sc (x109 N m-2) 1 3,5 100 E (x109 N m-2) 200 30 1000 E module de Young ; s = E dl /l où dl /l  est l'allongement relatif du matériau sous la contrainte s. Calculer h pour chaque matériau. Commenter. h = sc/(rg0) ; hacier =109 / (7800*9,8) =1,3 104 m = 13 km. hKevlar =3,5 109 / (1450*9,8) =2,46 105 m = 246 km ; hnanotube =100 109 / (1300*9,8) =7,85 106 m = 7850 km Rapport d'aspect du câble. SS / ST = exp(0,775RT / h ) acier : SS / ST =5 10165 ; Kevlar : SS / ST =5,7 108 ; nanotube : SS / ST =1,88 ( techniquement réalisable ) Le seul matériau envisageable est les nanotubes. Quel est l'allongement relatif du câble sous contrainte critique ? Commenter. dl /l  = sc / E ; acier : 1/200=0,005 ; Kevlar : 3,5/30 =0,12 ; nanotubes : 100/1000 = 0,10. L'acier  possède un allongement relatif  bien inférieur au Kevlar et aux nanotubes. On cherche  à lever le long du câble une masse de 10 tonnes. On se donne comme critère de fonctionnement de l'ascenseur que le poids de cette masse au niveau de la Terre ne doit pas excéder T(RT) / 10. Evaluer S(RT) et S(RS) pour les différents matériaux. Commenter. Poids de la charge à la surface de la terre : m = 104 kg ; g0 ~ 10 m s-2 ; mg0 = 104*10 = 105 N ; T(RT)  = 10 * 105 = 106 N. D'une part : ST =T(RT)/ sc  et d'autre part : SS  = ST exp(0,775RT / h ). matériau acier Kevlar nanotubes ST (m2) 106 /109 = 10-3. 106 /(3,5 109 ) = 2,8 10-4. 106 /1011 = 10-5. SS (m2) 5 10165 *10-3 ~5 10162. 2,8 10-4 *5,7 108= 1,6 105. 1,9 *10-5. Le seul matériau envisageable est les nanotubes.

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