Le dipôle RC.
On réalise le circuit suivant. Un dispositif d’acquisition de données
relié à un ordinateur permet de suivre l’évolution de la tension aux
bornes du condensateur en fonction du temps t.
On déclenche les acquisitions à la fermeture de l’interrupteur K, le
condensateur étant préalablement déchargé. L’ordinateur nous
donne la courbe uc=f(t) ci-après :
L’étude théorique conduit à une expression de la forme uc=E(1-exp(-t
/ t) où t est la constante de temps du
circuit.
Indiquer
où doivent être branchées la masse M et la voie d’entrée de la carte
d’acquisition pour étudier les variations de la tension uc aux bornes du
condensateur. Quel est le phénomène physique mis en évidence sur
l’enregistrement ?
On met en évidence la charge d'un condensateur à travers un résistor.
A partir
de la courbe, indiquer la valeur E de la tension aux bornes du
générateur. Justifier.
Lorsque la charge est terminée, la tension aux bornes du condensateur
est constante, égale à la tension aux bornes du générateur.
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La constante de temps de ce circuit a pour
expression t = RC.
Montrer
que la tension uc atteint 63 % de sa
valeur maximale au bout d’un temps caractéristique égal à t.
uc=E(1-exp(-t / t) ; 0,63 E=E(1-exp(-t / t) ; 0,63 = 1-exp(-t / t)
exp(-t / t)
= 0,37 ; -t / t = ln 0,37 = -0,994~ -1
Par suite t =
t.
Déterminer t et en déduire la
capacité C du condensateur.
C = t / R = 0,006/100 = 6 10-5
F.
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Le dipôle RL.
On
remplace le condensateur par une bobine d’inductance L et de résistance
r.
L’ordinateur nous permet de suivre
l’évolution de l’intensité i du
courant en fonction du temps.
La loi d'additivité des tensions appliquée à ce circuit série conduit à
l'équation différentielle suivante : E = (R+r)i +Ldi/dt (1)
Quel est le
phénomène physique mis en évidence sur l'enregistrement et quel est
l'élément du circuit responsable de ce phénomène ?
La bobine inductive introduit un retard à l'établissement du courant.
Soit I
l'intensité du courant en régime permanent.
Etablir
son expression littérale à partir de l'équation (1), donner sa valeur
numérique et en déduire la résistance r de la bobine.
En régime permanent, l'intensité du courant est constante : dI/dt = 0.
Par suite E = (R+r)I soit I = E/(R+r).
r = E/I-R = 2/0,018 -100 ~ 11 ohms.
Quelle
est la valeur du courant à t=0 ? Comment s'écrit alors l'équation
différentielle (1) ?
La continuité de
l'énergie stockée par la bobine conduit à : i(t=0-) = i(t=0+)= 0.
E = L[di/dt]t=0. [di/dt]t=0 = E/L.
Or la constante de temps du dipôle est t' = L/(R+r) ; L = t'(R+r).
[di/dt]t=0 = E/L = E / (t'(R+r) = I / t'.
Vérifier que L/(R+r)
est homogène à un temps.
Emag = ½LI2 ; L = 2Emag / I2 ;
[L] = J A-2.
Pjoule = (R+r) I2 ; énergie dissipée par effet
Joule : (R+r) I2 t ; R+r = énergie / (I2 t)
[R+r] = J A-2T-1.
Par suite [L/(R+r)] = T.
Déterminer
graphiquement t' et en
déduire L.
L = t'(R+r)
= 0,0033(100+11) =0,37 H.
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Le dipôle RLC
en oscillations libres :
On associe un condensateur de capacité C = 60 µF avec la bobine
précédente.
Le condensateur est préalablement chargé ( interrupteur en position 1).
L'enregistrement des variations de la tension aux bornes du
condensateur en fonction du temps commence quend on bascule
l'interrupteur en position 2.
Caractériser
du point de vue énergétique l'enregistrement obtenu. Les oscillations
observées sont-elles périodiques ? Pourquoi les qualifie t-on
d'oscillations libres ?
L'énergie totale du système n'est pas constante : elle diminue au cours
du temps. L'oscillateur électrique est amorti. Une partie de l'énergie
se dissipe sous forme de chaleur dans les parties résistives.
Les oscillations sont pseudo-périodiques.
Aucun système électrique "excitateur" n'est présent dans le circuit :
l'oscillateur électrique est libre.
Mesurer
la pseudo-période T des socillations électriques. En assimilant T à la
période propre, déterminer l'inductance L de la bobine et la comparer à
la valeur précédente.
T = 0,03 s ; T = 2p(LC)½
; L = T2/(4p2C)
= 0,032 /(4*3,142*6 10-5) =0,38 H.
Valeur identique à la valeur précédente ( écart relatif < 3 %).
Comment
maintient-on constante l'énergie d'un oscillateur électrique ?
On ajoute en série à l'oscillateur un dispositif simulant une
résistance négative ; ce dernier compense à chaque instant les pertes
d'énergie par effet Joule de l'oscillateur électrique.
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