Aurélie 26/09/10
 

 

Dipôle RC : décharge d'un condensateur à travers un résistor.




  On étudie la décharge d'un condensateur chargé à travers un résistor R. On donne E =1,0 V et C = 1 nF.

On réalise trois expériences avec trois résistances R1, R2 et R3 (R1> R2 > R3. ). E reste inchangée. 
Les trois courbes ci-dessous donnent la tension uC en fonction du temps.


Attribuer chaque courbe au bon résistor.
La durée de la décharge du condensateur vaut environ 5 t = 5 RC.
Courbe 3 : 5RC ~0,005 ms =5 µs ; RC =1 µs ; R= 10-6 / 10-9 =103 ohms.
Courbe 1 : 5RC ~0,01 ms =10 µs ; RC =2 µs ; R= 2 10-6 / 10-9 =2 103 ohms.
Courbe 2 : 5RC ~0,015 ms =15 µs ; RC =3 µs ; R=3 10-6 / 10-9 =3 103 ohms.
La courbe 2 correspond à R1 ;
la courbe 1 correspond à R2 ; la courbe 3 correspond à R3





 

Initialement l'interrupteur est depuis longtemps en position 2 et le condensateur est déchargé. On donne E = 5,0 V.
Comment faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe ci-dessous.

La courbe représente la décharge du condensateur à travers un résistor.
Il faut donc d'abord charger le condensateur : interrupteur en position 1, puis lorsque la charge est terminée, basculer l'interrupteur en position 2.







Equation différentielle.
Préciser le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge.
Le courant de décharge a le sens contraire du courant de charge ; le courant de décharge a le sens contraire au sens de l'intensité indiqué sur le schéma.
Ecrire la relation entre uR et l'intensité du courant.
uR = -R i.
Ecrire la relation entre la charge q de l'armature A et la tension uC.
q = CuC.
Ecrire la relation entre l'intensité i et la charge q.

i = dqB/dt = -dqA/dt = -dq/dt = -CduC/dt.

Ecrire la relation entre uR et uC lors de la décharge.
Additivité des tensions : uR+uC =0.
En déduire que, lors de la décharge, l'équation différentielle vérifie par uC est du type : 1/a duC/dt +uC=0.
uR+uC =0 ; uR = -R i = RCduC/dt ; RCduC/dt + uC = 0.
On pose a = 1/RC; RC est la constante de temps du dipôle.
Quelle est l'unité de RC ?

R est une résistance (ohm) soit une tension (V) divisée par une intensité (A)
C est la capacité du condensateur (F) soit une charge électrique (coulomb) divisé par une tension (V)
Une charge électrique (C) est une intensité (A) multipliée par un temps (s)
D'où C est une intensité fois un temps divisée par une tension.










La solution de l'équation différentielle est de la forme uC(t) = A exp(-t / (RC)).
Montrer que A = E.

A t=0, instant de basculement de l'interrupteur en position2, le condensateur est complétement chargé et uC= E.
uC(0) = A exp(-0/ (RC)) = A ; uC(0) =E d'où A = E.

Etablir l'expression de ln(uC).
ln (uC) = ln E - t/(RC).


Montrer que l'allure de cette courbe est en accord avec l'expression de ln(uC) trouvée ci-dessus.

ln (uC) = ln E - t/(RC). lnE = ln 5 =1,61.
ln (uC) =f(t) est une fonction affine décroissante de coefficient directeur -1/(RC) .
Avec laquelle des 3 valeurs proposées pour la constante de temps, les résultats de la modèlisation vous semblent-ils en accord ?
0,46 ms ; 2,2 ms ; 22 ms.

-1/(RC) .= - 45,5 s-1  ; RC = 1/ 45,5 =2,2 10-2 s= 22 ms.



 

 

 

 

 

 

 

 










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