On étudie la décharge
d'un condensateur chargé à travers un résistor R. On donne E =1,0 V et
C = 1 nF.
On réalise trois expériences avec
trois résistances R1, R2
et R3 (R1> R2
> R3. ). E reste inchangée.
Les trois courbes ci-dessous donnent la tension uC
en fonction du temps.
Attribuer
chaque courbe au bon résistor.
La durée de la décharge du condensateur vaut environ 5 t = 5 RC.
Courbe 3 :
5RC ~0,005 ms =5 µs ; RC =1 µs ; R= 10-6 / 10-9
=103 ohms.
Courbe 1 :
5RC ~0,01 ms =10 µs ; RC =2 µs ; R= 2 10-6 / 10-9
=2 103 ohms.
Courbe 2 :
5RC ~0,015 ms =15 µs ; RC =3 µs ; R=3 10-6 / 10-9
=3 103 ohms.
La courbe 2 correspond à R1 ; la courbe 1 correspond à R2
; la courbe 3 correspond à R3.
Initialement
l'interrupteur est depuis longtemps en position 2 et le condensateur
est déchargé. On donne E = 5,0 V.
Comment
faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe ci-dessous.
La
courbe représente la décharge du condensateur à travers un résistor.
Il faut donc d'abord charger le condensateur : interrupteur en position
1, puis lorsque la charge est terminée, basculer l'interrupteur en
position 2.
Equation
différentielle.
Préciser
le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge.
Le courant de décharge a le sens contraire du courant de charge ; le
courant de décharge a le sens contraire au sens de l'intensité indiqué
sur le schéma.
Ecrire
la relation entre uR et l'intensité du courant.
uR = -R i.
Ecrire la
relation entre la charge q de l'armature A et la tension uC.
q = CuC.
Ecrire
la relation entre l'intensité i et la charge q.
i = dqB/dt = -dqA/dt =
-dq/dt = -CduC/dt.
Ecrire
la relation entre uR et uC lors de
la décharge.
Additivité des tensions : uR+uC
=0.
En
déduire que, lors de la décharge, l'équation différentielle vérifie par
uC est du
type : 1/a
duC/dt +uC=0.
uR+uC =0 ; uR = -R i = RCduC/dt ; RCduC/dt + uC
= 0.
On pose a
= 1/RC; RC est la constante de temps du dipôle.
Quelle
est l'unité de RC ?
R est une résistance (ohm) soit une tension (V) divisée par une
intensité (A)
C est la capacité du condensateur (F) soit une charge électrique
(coulomb) divisé par une tension (V)
Une charge électrique (C) est une intensité (A) multipliée par un temps
(s)
D'où C est une intensité fois un temps divisée par une tension.
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La
solution de l'équation différentielle est de la forme uC(t)
= A exp(-t / (RC)).
Montrer
que A = E.
A t=0, instant de basculement de l'interrupteur en position2, le
condensateur est complétement chargé et uC= E.
uC(0)
= A exp(-0/ (RC)) = A ; uC(0)
=E d'où A = E.
Etablir l'expression
de ln(uC).
ln (uC) = ln E - t/(RC).
Montrer
que l'allure de cette courbe est en accord avec l'expression de ln(uC) trouvée
ci-dessus.
ln
(uC) = ln E - t/(RC). lnE = ln 5 =1,61.
ln
(uC) =f(t) est une fonction affine décroissante
de coefficient directeur -1/(RC) .
Avec
laquelle des 3 valeurs proposées pour la constante de temps, les
résultats de la modèlisation vous semblent-ils en accord ?
0,46 ms ; 2,2 ms ; 22 ms.
-1/(RC) .= - 45,5 s-1 ; RC = 1/ 45,5
=2,2 10-2 s= 22 ms.
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