Le
31 mars 2008, l'australien Robbie Maddison a battu son propre record de
saut en longueur à moto à Melbourne. La Honda CR 500, après une
accélération, a abordé le tremplin avec une vitesse de 160 km/h et
s'est envolée pour un saut d'une portée égale à 107 m.
Dans cet exercice on étudie les trois phases du mouvement, à savoir :
- la phase d'accélération du motard de A à B
- la montée du tremplin de B à C
- le saut au delà de C.
Dans tout l'exercice, le système {motard + moto }est
assimilé à
son centre d'inertie G. l'étude est faîte dans le référentiel terrestre
considéré comme galiléen. On pose h = OC =ED.
g = 9,81 m s-2 ; masse du système m = 180 kg ; L =BC=7,86 m.
La phase
d'accélération du motard.
On considère que le motard s'élance, avec une vitesse initiale nulle,
sur une piste rectiligne en maintenant une accélération constante.
Une chronophotographie ( en vue de dessus ) représentant les premières
positions successives du centre d'inertie G du système est donnée. La
durée t =0,800 s sépare deux
positions successives du centre d'inertie G.
A t = 0, le centre d'inertie du système est au point A ( G0
sur la chronophotographie).
Exprimer les valeurs
des vecteurs vitesse du centre d'inertie G aux points G2 et G4
puis les calculer ; représenter ces vecteurs ainsi que le vecteur
différence de ces deux vecteurs.
( échelle : 1 cm pour 2 m s-1) :
v2 =
(G1G2 + G2G3) / (2t) avec : G1G2 =2,5 cm
mesurés ; tenir compte de l'échelle 1 cm pour 2 m : G1G2 =2,5*2 = 5,0 m
et G2G3 = 4,0 cm mesurés ; tenir compte de
l'échelle 1 cm pour 2 m : G2G3 =4*2 = 8,0 m.
v2 =(5,0 + 8,0) / 1,60 = 8,1 m s-1.
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v4 =
(G3G4 + G4G5) / (2t) avec : G3G4 =5,5 cm mesurés ; tenir
compte de l'échelle 1 cm pour 2 m : G3G4 =5,5*2 = 11 m
et G4G5 = 7,4 cm mesurés ; tenir compte de
l'échelle 1 cm pour 2 m : G4G5 =7,4*2 = 14,8 m.
v4 =(11 +14,8)/1,60 = 16,1 m s-1.
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Donner l'expression
du vecteur accélération au point G3 et calculer sa
valeur.
On donne l'évolution au cours du temps de la vitesse v du motard.
Montrer que la
courbe permet d'afirmer que la valeur de l'accélération est constante.
Estimer
la valeur de l'accélération et vérifier sa compatibilité avec la valeur
trouvée ci-dessus.
La courbe est une droite : la vitesse et le temps sont proportionnels ;
le coefficient de proportionnalité est la valeur constante de
l'accélération.
Les deux valeurs
obtenus sont compatibles.
Déterminer
la distance parcourue par le motard lordsque la vitesse atteint la
valeur v = 160 km / h.
160 / 3,6
= 44,4 m/s.
La montée
du tremplin.
Le motard aborde le tremplin au
point B, avec une vitesse de 160 km/h et maintient cette vitesse
jusqu'au point C.Le
tramplin est incliné d'un angle de a=27°
par rapport à l'horizontale.
Dans
cette partie l'altitude du point B est choisie comme référence pour
l'énergie potentielle de pesanteur.
Exprimer l'énergie mécanique en fonction de
la vitesse v et de l'altitude z.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.
E= ½mv2 + mgz.
Exprimer la variation d'énergie potentielle de pesanteur du système entre
les points B et C en fonction de m, g, BC et a. La calculer.
Energie potentielle de pesanteur en B : Ep(B) =0, B sert de référence.
Energie potentielle de pesanteur en C : Ep(C) = mg zC avec zC = BC sin a.
Variation de l'énergie potentielle de pesanteur : DEp = Ep(C) -Ep(B) =mgBC sin a.
DEp =180*9,81*7,86 sin 27 =6301 ~6,3 kJ.
En déduire en
justifiant comment évolue l'énergie mécanique du système entre B et C.
La vitesse, donc l'énergie cinétique est constante entre B et C ; l'énergie potentielle de pesanteur augmente entre B et C de la quantité mgBC sin a
Donc l'énergie mécanique augmente de la quantité mgBC sin a entre B et C.
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Le saut.
Le motard quitte le tremplin en C avec une vitesse initiale v0 = 160 km/h.
Toutes les actions autres que le poids sont supposées négligeables. On
souhaite étudier la trajectoire du centre d'inertie G du système dans
ces conditions. L'origine des dates est choisie à l'instant où le
système quitte le point C.
En appliquant la seconde loi de Newton, montrer que les équations horaires du mouvement du point G s'écrivent :
x(t) = v0 cos a t ; z(t) =-½gt2 + v0 sin a t + h.
Le motard n'est soumis qu'à son poids : la seconde loi de Newton
permet d'écrire les composantes de l'accélération dans le repère
proposé : (0 ; -g)
Le vecteur vitesse est
une primitive du vecteur accélération. Les composantes du vecteur
vitesse initiale sont : ( v0 cos a ; v0 sin a)
Les composantes
du vecteur vitesse sont donc : (v0 cos a ; -gt+v0 sin a)
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse ; les
composantes du vecteur position initiale sont : (0 ; h )
Les composantes du vecteur position sont donc : x(t) = v0 cos a t ; z(t) =-½gt2 + v0 sin a t + h.
Montrer que l'équation de la trajectoire est :
 .
x(t) = v0 cos a t donne t = x(t) / ( v0 cos a )
repport dans z(t) : z(t) =-½g x2 / ( v0 cos a )2 +x tan a + h.
A quelle distance maximale de C doit se trouver le point D pour que "l'atterrissage" se fasse sur le tremplin ?
L'altitude de D est égale à celle de C lors d'un atterrissage en D.
d'où h =-½g x2 / ( v0 cos a )2 +x tan a + h.
-½g x2 / ( v0 cos a )2 +x tan a =0 ;
simplifier par x / cos a : -½g x / ( v02 cos a ) + sin a =0 ;
x =2v02sin a cos a / g = v02sin (2a ) / g.
x = 2*44,442 sin 54 / 9,81 =162,9 ~1,6 102 m. Comparer cette valeur à celle donnée dans l'énoncé. Comment peuton interpréter cet écart ?
Cette valeur est bien supérieure à la distance réelle. Dans la
réalité, il faut prendre en compte les frottements sur les couches
d'air.
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