Promis
à un grand avenir, les supers condensateurs sont des dispositifs de
stockage de l'énergie, intermédiaires entre les accumulateurs
électrochimiques et les condensateurs traditionnels. Leurs
applications, qui n'en sont qu'à leurs débuts touchent de nombreux
domaines tant dans l'électronique de grande diffudion que dans
l'électronique de puissance, notamment en ouvrant des perspectives
interessantes dans le domaine des véhicules hybrides.
Au cours d'une séance de travaux pratiques, les élèves ont à déterminer
la valeur de la capacité d'un condensateur par plusieurs méthodes.
Charge d'un condensateur à courant constant.
Une première méthode consiste à charger un condensateur à l'aide d'un
générateur délivrant un courant d'intensité I constant, selon le
montage suivant :
À la date t = 0 s, on ferme l’interrupteur K et on enregistre, à l’aide
d’un système informatique, les variations au cours du temps de la
tension uR aux bornes du conducteur ohmique de résistance R = 20 W et de la tension u aux bornes du condensateur. Après traitement, on obtient les courbes ci-dessous :
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Montrer que le graphe i(t) est obtenu à partir de l'enregistrement de uR(t).
La tenion aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité qui le
traverse sont proportionnelles. L'image de i(t) est celle de uR(t) au facteur R près.
Utiliser l'un des graphes pour déterminer la relation numérique entre u( aux bornes du condensateur et le temps. Justifier.
Le graphe u(t) = f(t) est une droite passant par l'origine. On détermine le coefficient directeur de cette droite.
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En considérant qu'à t =0 le condensateur est déchargé, donner l'expression littérale de la charge qA portée par l'armature A du condensateur en fonction du temps.
qA = i t = Cu avec u = 0,25 t ; i t = 0,25 C t ; par suite i = 0,25 C ou C = 4 i.
Calculer le quotient qA/u. Que représente-t-il ?
qA/u = C, ce rapport représente la capacité du condensateur.
C = 4 i avec i = 0,25 A ( lecture graphe ). C = 4*0,25 = 1,0 F.
Charge d'un condensateur à tension constante.
Une autre manière de déterminer la valeur de la capacité d’un
condensateur, consiste à charger ce dernier avec un générateur de
tension constante E = 5,0 V associé à une résistance R = 20 , en série
avec le condensateur selon le schéma suivant :
On ferme l’interrupteur K à t = 0 s, un dispositif informatique
(acquisition et traitement) permet d’obtenir les variations de
l’intensité dans le circuit et de la tension aux bornes du
condensateur au cours du temps. On obtient les deux courbes ci-dessous :
D'après les graphes, quelles sont les valeurs de u et i lorsque le condensateur est chargé ?
L'intensité i est nulle et la tension u est égale à la tension aux bornes du générateur.
Rappeler l'expression de la constante de temps t du circuit et la déterminer graphiquement en précisant la méthode. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
t = RC ; C = t / R = 20 / 20 = 1,0 F. On obtient la même valeur que ci-dessus.
En respectant les notations du montage, montrer que la tension u vérifie l'équation différentielle suivante : E = RC du/dt + u.
Additivité des tensions E = u +uR avec uR = Ri.
De plus i = dqA/dt et qA = C u ; d'où i = Cdu/dt.
Par suite : E = u + RCdu/dt.
La solution de cette équation différentielle est de la forme u(t) = E(1-exp(-t/t)) où t est la constante de temps du circuit.
Montrer que pour t = 5 t le condensateur est pratiquement chargé et le vérifier graphiquement.
u(5t) = E(1-exp(-5) )=0,993 E ~0,99 E.
A t = 5 t la tension aux bornes du condensateur atteint 99 % de sa valeur finale E. Le condensateur est pratiquement chargé.
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Oscillations dans un circuit RLC.
Une
autre solution pour déterminer la valeur de la capacité du condensateur
est d’établir des oscillations électriques dans un circuit (R, L, C).
Le condensateur, préalablement chargé sous une tension E = 5,0 V, est
relié à une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r = 20 W selon le schéma suivant :
L’acquisition de la tension aux bornes du condensateur permet d’obtenir la courbe suivante :
A l'aide de considérations énergétiques, expliquer pourquoi on observe des oscillations électriques dans le circuit.
Qualifier le régime d'oscillations obtenu.
Initialement le condensateur chargé stocke toute l'énergie du dipôle.
Le condensateur se décharge dans la bobine : celle-ci stocke de
l'énergie, une partie est dissipée par effet Joule dans les parties
résistives.
Puis le condensateur se charge en sens inverse ; enfin il se décharge à nouveau à travers la bobine.
On observe un échange permanent d'énergie entre bobine et
condensateur au cours duquel une partie de l'énergie est dissipée
en chaleur par effet Joule. Le régime est pseudopériodique. Les
oscillations s'amortissent.
Déterminer la valeur d'une grandeur temporelle liée aux oscillations.
La pseudo-période T vaut environ T ~6,3 s. ( voir graphe ci-dessus ).
La période propre des oscillations d’un circuit (L, C) est donnée par T0 = 2p(LC)½ où L représente l’inductance de la bobine et C la capacité du condensateur.
En assimilant la grandeur temporelle précédente à cette valeur, en déduire la
capacité du condensateur. Comparer le résultat avec ceux obtenus par les deux précédentes méthodes.
C = T02 /(4p2L) =6,32 / (4*3,142*1,0) =1,0 F.
Cette valeur est identique à celle trouvée par les autres méthodes.
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