Aurélie 02/06/10
 

 

L'oscillateur harmonique, mécanique quantique : bac S Liban 2010





l'oscillateur harmonique à une dimension est un modèle d'oscillateur qui intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité notamment.
Son évolution temporelle est régie par l'équation différentielle suivante : d2Y/dt2 + AY=0.
Y est une grandeur physique qui varie au cours du temps, comme par exemple la position x d'un mobile ou la charge q d'un condensateur.
A est une constante positive reliée à la période T0 de l'oscillateur par : A = 4 p2/T20.
T0 est indépendante de l'amplitude de la grandeur Y.
Le pendule simple.
Un pendule simple a une longueur L égale à 100 cm. La période mesurée T est donnée dans le tableau suivant :
amplitude (°)
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
période T (s)

2,01
2,01
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
On prendra g = 9,81 N / kg. La période propre T0 du pendule simple a pour expression T0 = 2 p ( L/g)½.
Calculer sa valeur.
T0 =6,28 ( 1,00 / 9,81)½=2,01 s.
Pourquoi peut-on parler, d'après le tableau ci-dessus, d'isochronisme des petites oscillations ? Justifier.
La période T mesurée est égale à T0 pour des angles inférieurs ou égaux à 15°. Dans le cas des petits angles, on peut confondre le sinus de l'angle et la mesure de l'angle en radian.




Le pendule élastique.
Un solide S est relié à un ressort dont l'autre extrémité est fixe. Le solide de masse m = 205 g et de centre d'inertie G peut glisser sur un rail à coussin d'air horizontal. Le ressort, à spires non jointives, a une masse négligeable et une constante de raideur k = 10,0 N m-1. Au repos G est en O.
A l'instant t, la position du solide est repérée par l'abscisse x(t) sur l'axe : x(t) représente également l'allongement du ressort. Un dispositif d'acquisition a permis d'obtenir l'enregistrement ci-dessous.

 

Comment qualifier les oscillations obtenues ?
Les oscillations sont sinusoïdales, non amorties ( l'amplitude est constante ).
faire le bilan des forces s'exerçant sur S. Les représenter sans souci d'échelle.
Le solide S est soumis à  : son poids, vertical, vers le bas, valeur mg
- à l'action du rail, vertical, vers le haut, valeur mg
- à une force de rappel exercée par le ressort, proportionnelle à l'allongement.


Montre que dans ces conditions l'équation différentielle du mouvement s'écrit : d2x/dt2+k/m x = 0.
Ecrire la seconde loi de Newton :

Le pendule est assimilable à un oscillateur harmonique puisque l'équation ci-dessus est analogue à l'équation générale donnée au début de l'exercice.
Déterminer l'expression de la période propre T0 en fonction de k et de m.
A =k / m =  4 p2/T20 d'où T0 =2 p (m/k)½.
A.N : T0 = 2 *3,14(0,205 / 10,0)½ =0,900 s.
Déterminer la valeur expérimentale T0 exp en explicitant le raisonnement et la comparer avec la valeur calculée.

T0 exp = T0 = 0,900 s.





Energies.
Comment appelle -t-on les énergies ayant respectivement pour expressions ½kx2 et ½m (dx/dt)2 ?
Energie potentielle élastique : ½kx2 ; énergie cinétique : ½m(dx/dt)2.

Pour un lâcher sans vitesse initiale, l'équation différentielle a pour solution x(t) = Xm cos (2p t / T0).

  Montrer que l'énergie mécanique a pour expression EM =½kX2m.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.
EM = ½k x2 + ½m(dx/dt)2 = ½k
X2m cos2 (2p t / T0)+ ½m 4 p2/T02 X2m sin2 (2p t / T0)
Or
4 p2/T02 = k/m d'où EM =½kX2m cos2 (2p t / T0)+½kX2m sin2 (2p t / T0) = ½kX2m.
Quelle est la valeur minimale de l'énergie mécanique ?
En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve.
Xm = 3,5 cm = 0,035 m (lecture graphe). EM = 0,5*10,0 *0,0352 =6,1 10-3 J.

On réalise différents lâchers sans vitesse initiale en faisant varier l'amplitude.
Calculer l'énergie mécanique lorsque Xm = 1,00 cm ?
EM = 0,5*10,0 *0,012 =5,00 10-4 J.
Combien de valeurs de l'énergie mécanique sont possibles entre Xm=0 et Xm = 1,00 cm ? Aucune ou une infinité ? Justifier.
Entre 0 et 1,00 cm, il y a une infinité de valeurs et toutes ces valeurs sont permises ( l'allongement  du ressort ( échelle humaine) , donc l'énergie ne sont pas quantifiés) ; l'énergie mécanique peut donc prendre une infinité de valeurs.








Le pendule élastique en mécanique quantique.
On considère une molécule diatomique AB vibrant autour de son centre d'inertie G ( mA et mB sont les masses respectives des atomes A et B ).. On assimile cette molécule à un système de masse µ oscillant par rapport au point G fixe.

Le mouvement est rectiligne sinusoïdal de période propre T0 = 2 p (µ / k)½ où k est la constante de raideur du ressort équivalent. On donne : h = 6,63 10-34 J s ; c = 3,00 108 m / s.
La mécanique quantique montre que l'énergie de vibration Evib de la molécule est quantifiée.
Qu'entend-on par énergie quantifiée ?
Toutes les valeurs ne sont pas permises ; l'énergie  ne peut prendre qu'un petit nombre de valeurs.
La molécule est assimilée à un oscillateur harmonique de période propre T0 = 1,95 10-14 s. Un niveau n d'énergie de vibration est caractérisé par Evib = (n+½)h v0, où h est la constante de Plank,
v0 la fréquence de l'oscillateur et n un entier positif ( n=0, 1 2, ....)
Vérifier que la fréquence v0 vaut environ 5,12 1013 Hz puis compléter le tableau suivant :
v0 = 1/ T0 = 1 / 1,95 10-14 =5,13 1013 Hz.
n
0
1
2
3
4
Evib ( x 10-20) J


8,50
11,90
15,30
Evib ( n=0) = 0,5 h v0 =0,5 *6,63 10-34 *5,13 1013 =1,70 10-20 J.
Evib ( n=1) = 1,5 h v0 =1,5*6,63 10-34 *5,13 1013 =5,10 10-20 J.
Représenter le diagramme en énergie de la molécule. Que peut-on dire de l'écart entre deux niveaux successifs ?


La transition du niveau caractérisé par n= 0 au niveau caractérisé par n = 1 correspond à l'absorption d'une radiation.
Calculer la longueur d'onde correspondante dans le vide. Cette radiation est-elle visible ? Justifier.
DE = 3,4 10-20 J ; l = hc / DE = 6,63 10-34 * 3,00 108 / 3,40 10-20 = 5,85 10-6 m = 5,85 µm.
Le domaine visible s'étend de 0,4 µm à 0,8 µm ; la radiation correspondante appartient à l'infrarouge.







menu