Un détecteur de
métaux est un appareil capable de détecter la présence ou non de métal
à distance. La méthode de détection peut s'appuyer sur la
variation de l'inductance d'une bobine à l'approche d'un métal. En
effet, l'inductance augmente si on approche de la bobine un objet en
fer, alors qu'elle diminue si l'objet est en or.
Le détecteur est équivalent à un oscillateur constitué d'un
condensateur et d'une bobine.
Du fait de la variation de l'inductance de la bobine, l'oscillateur
voit sa fréquence modifiée. Un montage électronique permet alors de
comparer la fréquence de cet oscillateur à une fréquence fixe. La
comparaison indique ainsi la présence d'un métal et sa nature.
Variation de
l'inductance d'une bobine à l'approche d'un métal.
On dispose d'une bobine plate portant les indications L = 20 mH, r= 5,0
ohms. On décide de tester le comportement de cette bobine en présence
ou non de métaux dans le but de vérifier la variation de l'inductance.
Le montage utilisé est réalisé avec un générateur de tension continue
de fem E =5,0 V, un conducteur ohmique de résistance R = 10 ohms et la
bobine d'inductance L et de résistance r.
On
enregistre l'évolution de la tension uR aux bornes du
conducteur ohmique de résistance R en fonction du temps. L'origine des
temps est prise à la fermeture de l'interrupteur. l'expérience est
faite dans un premier temps sans métal à proximité ( courbe a) puis
avec un morceau de fer à proximité de la bobine ( courbe b).
Expliquer pourquoi
l'évolution de la tension uR représente celle de l'intensité
du courant i dans le circuit.
La tension aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité qui le
traverse sont proportionnelles. L'image de l'intensité est l'image de
la tension au facteur R près.
Repérer sur la
courbe a le régime transitoire et le régime permanent. Expliquer
qualitativement le phénomène observé pour l'intensité.
La
bobine inductive stocke de l'énergie ; il en résulte un retard à
l'établissement du courant.
Comment évolue
l'intensité du courant dans chaque régime ?
En régime
transitoire, l'intensité croît à partir de zéro ; en régime permanent,
l'intensité est constante.
Donner l'expression
de la tension uB aux bornes de la
bobine. Que devient cette expression en régime permanent ?
uB
= L di/dt + r i ; en régime permanent l'intensité est constante et
dI/dt = 0 : uB = rI.
La constante de temps du dipôle étudié est t = L/(R+r).
Montrer par analyse
dimensionnelle que t est homogène à un
temps.
Energie : ½LI2 ; [L] = Joule Ampère-2 ;
Energie ( Joule) : (R+r) I2 t : [R+r] = Joule Ampère-2
seconde-1.
[t] = Joule Ampère-2
Joule-1 Ampère2 seconde = seconde
Déterminer
graphiquement ta et tb.
Comparer
les valeur La et Lb correspondantes.
Conclure.
A R+r constant, la constante de temps est proportionnelle à
l'inductance : La < Lb ; ce qui confirme
l'information donnée dans le texte.
L'oscillateur.
L'oscillateur utilisé dans
le détecteur est équivalent à un oscillateur électrique non amorti
constitué par un condensateur et une bobine de résistance nulle
schématisé ci-dessous. Dans un souci de simplification, le dispositif
de charge n'est par représenté.
Donner l'expression
de la tension uL en fonction de L et
i.
uL = L di / dt.
Donner
l'expression de l'intensité du courant i en fonction de C et uC.
q
= CuC et i = dq/dt avec C une constante. Par suite i = C duC/dt
et di/dt = C d2uC/dt2.
Etablir l'équation
différentielle vérifiée par uC.
Additivité des tensions : uL +uC = 0 ; L di / dt + uC = 0 ; LC
d2uC/dt2+ uC = 0.
d2uC/dt2+1/(LC) uC = 0.
L'équation différentielle est de la forme d2uC/dt2+4p2/T02
uC = 0. T0
est la période propre de l'oscillateur.
Exprimer T0 en fonction de L et
C.
Par identification : 1/(LC) = 4p2/T02
; T02
= 4p2LC ; T0 =
2p (LC)½.
On donne l'enregistrement de
la tension uC en absence de métal à proximité de
l'oscillateur.
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Déterminer
graphiquement T0.
T0 = 50 µs = 5,0 10-5 s.
En
déduire la capacité C utilisée. ( En absence de métal L = 0,020
H).
T02
= 4p2LC ; C = T02
/ ( 4p2L) = (5,0 10-5)2 / (4*10*0,02) =25 10-10 / 0,8 ~3,1 10-9 F = 3,1 nF.
Recherche
de métaux.
En
absence de métal à proximité, la fréquence propre de l'oscillateur est
voisine de 20 kHz.
Comment
évolue cette fréquence si on approche la bobine d'un objet en or ?
L'inductance
augmente si on approche de la bobine un objet en fer, alors qu'elle
diminue si l'objet est en or.
Fréquence de l'oscillateur : f0 = 1 /(2p(LC)½).
Si l'inductance diminue en présence d'or, alors la fréquence augmente.
Au
cours d'une recherche, on détecte un signal de fréquence 15 kHz.
A t-on trouvé de l'or ? Justifier.
La fréquence
diminue : l'inductance augmente, C étant constante.
Or l'inductance augmente si on approche de la bobine un objet en fer.
On n'a pas trouvé d'or.
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