On
dispose d'un système {solide ressort } constitué d'un mobile de
masse m considéré comme un point matériel G accroché à l'extrémité d'un
ressort à spires on ointives, de masse négligeable et de raideur k = 15
N /m. Le système est installé sur une table à coussin d'air afin de
négliger les frottements entre le solide et la table.
Ce
mobile, assimilé à son centre d'inertie G, peut osciller
horizontalement sans frottement sur une tige parallèle à l'axe Ox. On
étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le
point O coïncide avec la position de G lorsque le ressort est au repos.
Faire l'inventaire des forces exercées sur le mobile et les représenter sur le schéma sans souci d'échelle.
Le poids, vertical vers le bas, valeur mg ; L'action du plan, opposée au poids ; la force de rappel exercée par le ressort.
Rappeler l'expression vectorielle de la force de rappel du ressort..
voir le schéma.
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En appliquant la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement.
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Vérifier que x = xm cos ((k/m)½ t + f ) est solution de cette équation différentielle.
x' = -xm (k/m)½sin ((k/m)½ t + f ) ; x" = -xm (k/m) cos ((k/m)½ t + f ) = - (k/m) x.
Repport dans l'équation différentielle : - (k/m) x + (k/m) x =0.
Cette égalité est bien vérifiée que que soit le temps.
Le mobile est écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitese initiale à la date t=0 de la position x0 = +4,0 cm.
Déterminer numériquement les valeurs de xm et de f.
x(0) = xm cos ( f ) d'où xm = 4,0 cm et f = 0.
x'(0) = -xm (k/m)½sin ( f )= 0 d'où f = 0.
Introduction de l'énergie potentielle élastique.
Pour étirer le ressort, un opérateur tire sur l'extrémité G et la déplace d'un point A d'abscisse xA vers un point B d'abscisse xB. La force exercée par l'opérateur sera notée Fop.
En appliquant la troisième loi de Newton trouver l'expression vectorielle de la force exercée par l'opérateur.
Cette force est-elle constante lors de déplacement de l'extrémité G du ressort de A vers B ? Justifier.
Cette force n'est pas constante : la raideur k est constante mais l'abscisse x de G varie entre les valeurs xA et xB.
Montrer que l'expression du travail élémentaire dW de la force de l'opérateur pour un petit déplacement dl est dW = kxdx.
Par intégration, trouver l'expression du travail de la force de l'opérateur sur le déplacement AB.
En déduire l'expression de l'énergie potentielle élastique du ressort.
EpB -EpA = ½k(xB2-xA2) ; par suite Ep = ½lx2.
Energie mécanique du système solide-ressort.
Le
système étant en mouvement horizontal, l'énergie potentielle de
pesanteur du mobile de masse m sera considérée comme constante et fixée
arbitrairement à zéro.
Donner
l'expression de l'énergie cinétique Ec du solide de masse m en
mouvement de translation à la vitesse v. Préciser les unités des
grandeurs intervenant dans cette expression.
Ec = ½mv2 avec Ec en joule (J), m en kg et v en m s-1.
Donner l'expression de l'énergie mécanique EM de la masse m du mobile.
EM =Ec +Ep = ½mv2 + ½k(xB2-xA2)
Le
professeur réalise deux enregistrements du mouvement du centre de
gravité de la masse m à l'aide d'un dispositif non représenté. Dans les
deux cas, partant de la position d'équilibre de la masse, il étire le
ressort vers la droite et lâche la masse à t = 0 sans lui communiquer
de vitesse initiale. Lors de son premier enregistrement la soufflerie
qui alimente le mobile autoporteur pour crée le coussin d'air, marche à
plein régime. Lors du second enregistrement, le tuyau d'arrivée d'air
est légèrement pincé. Le professeur obtient donc deux courbes
représentant les variations de l'abscisse x de G en fonction du temps.
Donner l'expression de la période propre T0 du système solide ressort.
T0 = 2 p (m/k)½ = 0,33 s ( voir graphes ci-dessus).
En déduire la masse m du mobile.
Aide au calcul : 0,332 *15 / (4p2) = 4,1 10-2 ; (4p2) / (0,322 *15) = 26 ; 0,32*15 / (4p2) =0,121 ; 0,33*15 / (4p2) =0,125.
T02 = 4p2m/k d'où m = T02 k /(4p2) =0,332 *15 / (4p2) = 4,1 10-2 kg.
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Grâce
à un logiciel de traitement de données, le professeur fait apparaître
sur le mêm graphique les courbes représentant les variations des
différentes formes d'énergie du système solide ressort pour les deux
enregistrements.
Attribuer à chaque courbe la forme d'énergie représentée en justifiant.
Courbe 1 : en absence de frottement l'énergie mécanique est constante.
Courbe 2 : la vitesse initiale, donc l'énergie cinétique est nulle.
Courbe 3 : l'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle élastique.
Justifier la différence entre les courbes des documents 3 et 4.
Document 4 : la soufflerie ne fonctionne pas correctement, d'où l'existence de frottement entre le mobile et le support.
En présence de frottement, l'énergie mécanique décroît au cours du temps.
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