Courbe de décroissance radioactive par la méthode d'Euler :

Le professeur propose à l'élève d'obtenir un ensemble de points qui modélise cette décroissance en utilisant la méthode d'Euler. Pour cela on note m(t) le nombre d'évènements détectés à la date t et m(t+Dt) celui qui correspond à la date t + D t et on écrit m(t+Dt) - m(t) = D m . Dt est appelé "pas de résolution" de la méthode d'Euler. On fait l'hypothèse que le radon 220 est seul responsable de la radioactivité de l'échantillon. On en déduit que D m est proportionnel à la fois à m(t) et à D t ; la constante de proportionnalité est -l avec l = 0,0125 s^-1 constante radioactive du radon 220.

Prendre pour valeur à l'origine la valeur m₀ = 220 évènements détectés par seconde.

1. Traduire mathématiquement la phrase précédente.
2. La méthode d'Euler appliquée à m donne : m(t+Dt) = m(t) + D m. Pour appliquer cette méthode il faut choisir un "pas de résolution" adapté. Le professeur en propose 3 : 1 µs, 0,5 s et 20 s. Pourquoi l'élève élimine-t-il la première valeur et la dernière ?
3. Calculer les premières valeurs de m obtenues par la méthode d'Euler en expliquant la démarche. Recopier et compléter le tableau.

   t(s)	meuler
   0	220
   0,5
   1

4. L'élève utilise le tableur-grapheur pour le calcul de m_Euler et le tracé des points obtenus dans le même système d'axes que précédemment. Il superpose les deux résultats.

   Remarque : à l'impression, les points obtenus par la méthode d'Euler, qui sont très rapprochés, semblent former une ligne continue.
   - L'hypothèse de la question 3 (« le radon 220 est le seul responsable de la radioactivité de l.échantillon ») paraît-elle acceptable ?

5. Modélisation par résolution d'une équation différentielle et confrontation avec la méthode d'Euler
   Quand le pas de résolution Dt tend vers zéro, l'expression Dm / Dt tend vers la dérivée de m par rapport au temps qui peut être notée dm/dt
   - Écrire l'expression de l'équation différentielle, comportant les termes dm/dt , m et c traduisant la désintégration radioactive du radon 220.
   - Vérifier que m = m₀ e^-lt est solution de l'équation différentielle trouvée à la question précédente.
   - À partir de cette équation et à l'aide du tableur, l'élève détermine les valeurs de m, appelées m(_th), toutes les 10 secondes. Il superpose ensuite toutes les valeurs, expérimentales et calculées, et il obtient le résultat suivant : (m(exp) = triangles rouges ; m(Euler) = petits points bleus ; m(th) = carrés verts.
   

   - Calculer les premières valeurs de m_th en expliquant la démarche. Recopier et compléter le tableau.

   t(s)	mth
   0
   10
   20

   - Doit-on s'étonner de voir les « points m_th » sur le même profil que les « points m_Euler » ?

6. La méthode d.Euler est-elle applicable si on ne connaît pas :

   - les conditions initiales ?

   - une relation entre la grandeur étudiée et sa variation ?

   - la solution analytique de l.équation différentielle ?

   Justifier chaque réponse.